Question

某校舉行綜合知識(shí)大獎(jiǎng)賽，比賽分初賽和決賽兩部分，初賽采用選手選一題答一題的方式進(jìn)行，每位選手最多有6次答題的機(jī)會(huì)，選手累計(jì)答對(duì)4題或答錯(cuò)3題即終止其初賽的比賽，答對(duì)4題者直接進(jìn)入決賽，答錯(cuò)3題者則被淘汰．已知選手甲答題連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為

1

9

（已知甲回答每道題的正確率相同，并且相互之間沒(méi)有影響）．
（Ⅰ）求選手甲回答一個(gè)問(wèn)題的正確率；
（Ⅱ）求選手甲可以進(jìn)入決賽的概率．

Answer 1

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）甲回答每個(gè)問(wèn)題的正確率相同，并且答題相互之間沒(méi)有影響，且連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為

1

9

，利用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率列出關(guān)于P的方程，得到概率．
（2）由題意知甲進(jìn)入決賽包括三種情況，這三種情況是互斥的，分別做出選手甲答了4道題目進(jìn)入決賽，甲答了5道題目進(jìn)入決賽，甲答了6道題目進(jìn)入決賽的概率，得到結(jié)果．

解答： 解：（1）甲回答每個(gè)問(wèn)題的正確率相同，
并且答題相互之間沒(méi)有影響，
且連續(xù)兩次答錯(cuò)的概率為

1

9

．
設(shè)甲選手答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的正確率為P₁，
則（1-P₁）²=

1

9

，
故甲選手答對(duì)一個(gè)問(wèn)題的正確率P₁=

2

3

，
（2）由題意知甲進(jìn)入決賽包括三種情況，這三種情況是互斥的，
選手甲答了4道題目進(jìn)入決賽的概率為（

2

3

）⁴=

16

81

，…（3分）
選手甲答了5道題進(jìn)入決賽的概率為

C

3 4

（

2

3

）³（

1

3

）（

2

3

）=

64

243

；  …（5分）
選手甲答了6道題進(jìn)入決賽的概率為

C

3 5

（

2

3

）³（

1

3

）²（

2

3

）=

160

729

；     …（7分）
故選手甲可進(jìn)入決賽的概率P=

16

81

+

64

243

+

160

729

=

496

729

   …（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率和互斥事件的概率，本題解題的關(guān)鍵是讀懂題意，寫出甲進(jìn)入決賽的三種情況．