Question

20．某校對(duì)數(shù)學(xué)、物理兩科進(jìn)行學(xué)業(yè)水平考前輔導(dǎo)，輔導(dǎo)后進(jìn)行測(cè)試，按照成績(jī)（滿分均為100分）劃分為合格（成績(jī)大于或等于70分）和不合格（成績(jī)小于70分）．現(xiàn)隨機(jī)抽取兩科各100名學(xué)生的成績(jī)統(tǒng)計(jì)如下：

成績(jī)（單位：分）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
數(shù)學(xué)	8	12	40	32	8
物理	7	18	40	29	6

（1）試分別估計(jì)該校學(xué)生數(shù)學(xué)、物理合格的概率；
（2）設(shè)數(shù)學(xué)合格一人可以贏得4小時(shí)機(jī)器人操作時(shí)間，不合格一人則減少1小時(shí)機(jī)器人操作時(shí)間；物理合格一人可以贏得5小時(shí)機(jī)器人操作時(shí)間，不合格一人則減少2小時(shí)機(jī)器人操作時(shí)間．在（1）的前提下，
（i）記X為數(shù)學(xué)一人和物理一人共同贏得的機(jī)器人操作時(shí)間（單位：小時(shí)）總和，求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（ii）隨機(jī)抽取4名學(xué)生，求這四名學(xué)生物理考前輔導(dǎo)后進(jìn)行測(cè)試所贏得的機(jī)器人操作時(shí)間不少于13小時(shí)的概率．

Answer 1

分析 （1）由等可能事件概率計(jì)算公式能求出數(shù)學(xué)合格率和物理合格率．
（2）（i）隨機(jī)事件X的取值為9，4，2，-3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（ii）設(shè)這4名學(xué)生物理輔導(dǎo)后測(cè)試合格人數(shù)為n（n=0，1，2，3，4），則由題意得：5n-2（4-n）≥13，由此能求出這四名學(xué)生物理考前輔導(dǎo)后進(jìn)行測(cè)試所贏得的機(jī)器人操作時(shí)間不少于13小時(shí)的概率．

解答 解：（1）數(shù)學(xué)合格率${p}_{1}=\frac{40+32+8}{100}=\frac{4}{5}$，….1
物理合格率p₂=$\frac{40+29+6}{100}$=$\frac{3}{4}$．…2
（2）（i）隨機(jī)事件X的取值為9，4，2，-3，
P（X=9）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{5}$，….3
P（X=4）=（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{20}$，…4
P（X=2）=$\frac{4}{5}×（1-\frac{3}{4}）$=$\frac{1}{5}$，…5
P（X=-3）=（1-$\frac{4}{5}$）×（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{20}$，…6
X的分布列：

X	9	4	2	-3
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{20}$

EX=$9×\frac{3}{5}+4×\frac{3}{20}+2×\frac{1}{5}+（-3）×\frac{1}{20}$=$\frac{25}{4}$．…8
（ii）設(shè)這4名學(xué)生物理輔導(dǎo)后測(cè)試合格人數(shù)為n（n=0，1，2，3，4），
則由題意得：5n-2（4-n）≥13，解得n≥3，故n=3或n=4，…10
∴這四名學(xué)生物理考前輔導(dǎo)后進(jìn)行測(cè)試所贏得的機(jī)器人操作時(shí)間不少于13小時(shí)的概率：
p=${C}_{4}^{3}（\frac{3}{4}）^{3}（1-\frac{3}{4}）+{C}_{4}^{4}（\frac{3}{4}）^{4}$=$\frac{189}{256}$．…12

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．