Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為a_n=2n-1，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，且滿足T_n=1-b_n
（1）求{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）在{a_n}中是否存在使得

1

an+25

是{b_n}中的項(xiàng)，若存在，請寫出滿足題意的一項(xiàng)（不要求寫出所有的項(xiàng)）；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由題意可知b₁=

1

2

，b_n=b_n-1-b_n，故{b_n}為首項(xiàng)和公比均為

1

2

的等比數(shù)列，由此能夠求出{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè){a_n}中第m項(xiàng)a_m滿足題意，即

1

am+25

=(

1

2

)n，從而可得m=2^n-1-12，由此可得結(jié)論．

解答：解：（1）當(dāng)n=1時(shí)，∵b₁=T₁=1-b₁，∴b₁=

1

2

…（2分）
當(dāng)n≥2時(shí)，∵T_n=1-b_n，∴T_n-1=1-b_n-1，
兩式相減得：b_n=b_n-1-b_n，即：b_n=

1

2

b_n-1…（6分）
故{b_n}為首項(xiàng)和公比均為

1

2

的等比數(shù)列，
∴b_n=(

1

2

)n …（8分）
（2）設(shè){a_n}中第m項(xiàng)a_m滿足題意，即

1

am+25

=(

1

2

)n，即2m-1+25=2ⁿ
所以m=2^n-1-12（m∈N^*，n∈N^*），取n=5，則m=4，a₄=7（其它形如m=2^n-1-12（m∈N^*，n∈N^*）的數(shù)均可）…（12分）

點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的遞推式的應(yīng)用，考查等比數(shù)列的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．