【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè)函數(shù),若函數(shù)在區(qū)間上存在正的極值,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為;(2)
【解析】
(1)求導(dǎo)后,根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)可確定所求的單調(diào)區(qū)間;
(2)求導(dǎo)后可知的正負(fù)由決定,利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性和最值,根據(jù)在上有極值,可知,解不等式求得;分別在和兩種情況下,根據(jù)單調(diào)性確定上的極值,結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定極值的正負(fù),從而得到結(jié)果.
(1)當(dāng)時(shí),,其定義域?yàn)?/span>.
,令得:,令得:,
的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2),
,
令,,則.
令得:,令得:,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
又,,,顯然.
若函數(shù)在區(qū)間上存在極值,則,解得:.
①當(dāng),即時(shí),一定存在,使得,
不妨設(shè),則此時(shí),在區(qū)間上為負(fù),在區(qū)間上為正,在區(qū)間上為負(fù),
在區(qū)間上為負(fù),在區(qū)間上為正,在區(qū)間上為負(fù),
在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減,
,.
當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上存在兩個(gè)極值,,且.
,令,其中.
,在區(qū)間上單調(diào)遞增,
即當(dāng)時(shí),,,
當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上的極值滿足,即函數(shù)在區(qū)間上存在正的極值.
②當(dāng),即時(shí),一定存在,使得,使得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,在區(qū)間上單調(diào)遞減.
則函數(shù)在區(qū)間上的極大值是,且,
當(dāng)時(shí),函數(shù)在上存在正的極值.
綜上所述:當(dāng)時(shí),函數(shù)在區(qū)間上存在正的極值.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,圓:,直線:.為圓內(nèi)一點(diǎn),弦過點(diǎn),過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn).
(1)若,求的面積;
(2)判斷直線與圓的位置關(guān)系,并證明.
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【題目】已知橢圓.點(diǎn)E為橢圓在第一象限內(nèi)一點(diǎn),點(diǎn)F在橢圓上且與點(diǎn)E關(guān)于原點(diǎn)對稱,直線與橢圓交于A,B兩點(diǎn),則點(diǎn)E,F到直線x+y-1=0的距離之和的最大值是________;此時(shí)四邊形AEBF的面積是________.
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【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)到直線的距離為,過點(diǎn)的直線與交于、兩點(diǎn).
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,若,且與的交點(diǎn)在拋物線上,求直線的斜率和點(diǎn)的坐標(biāo).
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【題目】已知函數(shù),,其中e是自然對數(shù)的底數(shù).
(1)若函數(shù)的極大值為,求實(shí)數(shù)a的值;
(2)當(dāng)a=e時(shí),若曲線與在處的切線互相垂直,求的值;
(3)設(shè)函數(shù),若>0對任意的x(0,1)恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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【題目】過正四面體ABCD的頂點(diǎn)A作一個(gè)形狀為等腰三角形的截面,且使截面與底面BCD所成的角為,這樣的截面有( )
A.6個(gè)B.12個(gè)C.16個(gè)D.18個(gè)
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【題目】已知橢圓,、分別是其左、右焦點(diǎn),過的直線與橢圓交于兩點(diǎn),且橢圓的離心率為,的周長等于.
(1)求橢圓的方程;
(2)當(dāng)時(shí),求直線的方程.
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【題目】隨著網(wǎng)上購物的普及,傳統(tǒng)的實(shí)體店遭受到了強(qiáng)烈的沖擊,某商場實(shí)體店近九年來的純利潤如下表所示:
年份 | 2010 | 2011 | 2012 | 2013 | 2014 | 2015 | 2016 | 2017 | 2018 |
時(shí)間代號(hào) | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
實(shí)體店純利潤(千萬) | 2 | 2.3 | 2.5 | 2.9 | 3 | 2.5 | 2.1 | 1.7 | 1.2 |
根據(jù)這9年的數(shù)據(jù),對和作線性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.254;根據(jù)后5年的數(shù)據(jù),對和作線性相關(guān)性檢驗(yàn),求得樣本相關(guān)系數(shù)的絕對值為0.985;
(1)如果要用線性回歸方程預(yù)測該商場2019年實(shí)體店純利潤,現(xiàn)有兩個(gè)方案:
方案一:選取這9年的數(shù)據(jù),進(jìn)行預(yù)測;
方案二:選取后5年的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測.
從生活實(shí)際背景以及相關(guān)性檢驗(yàn)的角度分析,你覺得哪個(gè)方案更合適.
附:相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表:
小概率 | ||
0.05 | 0.01 | |
3 | 0.878 | 0.959 |
7 | 0.666 | 0.798 |
(2)某機(jī)構(gòu)調(diào)研了大量已經(jīng)開店的店主,據(jù)統(tǒng)計(jì),只開網(wǎng)店的占調(diào)查總?cè)藬?shù)的,既開網(wǎng)店又開實(shí)體店的占調(diào)查總?cè)藬?shù)的,現(xiàn)以此調(diào)查統(tǒng)計(jì)結(jié)果作為概率,若從上述統(tǒng)計(jì)的店主中隨機(jī)抽查了5位,求只開實(shí)體店的人數(shù)的分布列及期望.
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【題目】國家正積極推行垃圾分類工作,教育部辦公廳等六部門也發(fā)布了《關(guān)于在學(xué)校推進(jìn)生活垃圾分類管理工作的通知》.《通知》指出,到2020年底,各學(xué)校生活垃圾分類知識(shí)普及率要達(dá)到100%某市教育主管部門據(jù)此做了“哪些活動(dòng)最能促進(jìn)學(xué)生進(jìn)行垃圾分類”的問卷調(diào)查(每個(gè)受訪者只能在問卷的4個(gè)活動(dòng)中選擇一個(gè))如圖是調(diào)查結(jié)果的統(tǒng)計(jì)圖,以下結(jié)論正確的是( 。
A.回答該問卷的受訪者中,選擇的(2)和(3)人數(shù)總和比選擇(4)的人數(shù)多
B.回該問卷的受訪者中,選擇“校園外宣傳”的人數(shù)不是最少的
C.回答該問卷的受訪者中,選擇(4)的人數(shù)比選擇(2)的人數(shù)可能多30人
D.回答該問卷的總?cè)藬?shù)不可能是1000人
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