Question

【題目】如圖，在三棱錐S一ABC中，SA＝AB＝AC＝BC＝SB＝SC，O為BC的中點

（1）求證：SO⊥平面ABC

（2）在線段AB上是否存在一點E，使二面角B—SC－E的平面角的余弦值為？若存在，求的值，若不存在，試說明理由

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）利用等腰三角形性質，結合勾股定理證明線面垂直。

（2）建立空間直角坐標系，利用兩平面的法向量夾角公式即可求得點E的坐標。

（1）∵，O為BC的中點，∴，

設，則，，，

∴，∴，

又∵，∴平面ABC．

（2）以O為原點，以OA所在射線為x軸正半軸，以OB所在射線為y軸正半軸，

以OS所在射線為z軸正半軸建立空間直角坐標系．

則有，，，，．

假設存在點E滿足條件，設，

則，

則．

設平面SCE的法向量為，

由，得，故可取．

易得平面SBC的一個法向量為．

所以，，解得或（舍）．

所以，當時，二面角的余弦值為．