已知四棱錐的三視圖如下圖所示，其中正視圖、側(cè)視圖是直角三角形，俯視圖是有一條對角線的正方形.是側(cè)棱上的動點．

(1)求證：；
(2)若為的中點，求直線與平面所成角的正弦值；
(3) 若四點在同一球面上，求該球的體積.

（1）參考解析；（2）；（3）

解析試題分析：（1）要證明，要轉(zhuǎn)到線面垂直，通過觀察需證明平面.所以要證明垂直于平面兩條相交直線，顯然，.從而可得結(jié)論.
（2）要求直線與平面所成角的正弦值，需要找到直線與平面所成的角.通過證明平面平面.即可得到點E到平面的投影在PO（O是AC與BD的交點）上.這樣就可以求出直線與平面所成的角，再通運算即可求出結(jié)論.本小題也可已建立空間坐標系來求.
（3）若四點在同一球面上，求該球的體積.依題意可得.只要把圖形補齊為一個長方體.外接球的直徑就是長方體的對角線長.即可求結(jié)論.
試題解析：（1）證明：由已知

,
又因為，
(2)解法一：連AC交BD于點O，連PO，由(1)知
則，為與平面所成的角.
,則
法二：空間直角坐標法，略.
(3)解：以正方形為底面，為高補成長方體，此時對角線的長為球的直徑，
,.
考點：1.線線垂直.2.線面所成的角.3.割補思想.

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，在三棱錐S ­ABC中，平面EFGH分別與BC，CA，AS，SB交于點E，F(xiàn)，G，H，且SA⊥平面EFGH，SA⊥AB，EF⊥FG.

求證：(1)AB∥平面EFGH；
(2)GH∥EF；
(3)GH⊥平面SAC.

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如圖，四邊形ABCD為矩形，四邊形ADEF為梯形，AD//FE，∠AFE=60º，且平面ABCD⊥平面ADEF，AF=FE=AB==2，點G為AC的中點．

（Ⅰ）求證：EG//平面ABF；
（Ⅱ）求三棱錐B-AEG的體積；
（Ⅲ）試判斷平面BAE與平面DCE是否垂直？若垂直，請證明；若不垂直，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

（本小題滿分12分）在三棱柱中，側(cè)面為矩形，，，為的中點，與交于點，側(cè)面.

（1）證明：；
（2）若，求三棱錐的體積.

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已知直三棱柱的三視圖如圖所示，且是的中點．

（Ⅰ）求證：∥平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）試問線段上是否存在點，使與成 角？若存在，確定點位置，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC。

（１）證明：平面PAB⊥平面PBC；
（２）若，，PB與底面ABC成60°角，分別是與的中點，是線段上任意一動點（可與端點重合），求多面體的體積。

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

如圖，是以為直徑的半圓上異于點的點，矩形所在的平面垂直于該半圓所在平面，且

(Ⅰ)求證：；
(Ⅱ)設(shè)平面與半圓弧的另一個交點為,
①求證：//;
②若，求三棱錐E-ADF的體積．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)面是正三角形，平面底面．

（Ⅰ）如果為線段VC的中點,求證：平面；
（Ⅱ）如果正方形的邊長為2, 求三棱錐的體積

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：解答題

已知幾何體A—BCED的三視圖如圖所示，其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形，正視圖為直角梯形．
（1）求此幾何體的體積V的大小;
（2）求異面直線DE與AB所成角的余弦值；
（3）試探究在DE上是否存在點Q，使得AQBQ并說明理由.

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