Question

【題目】【2017北京豐臺5月綜合測試】已知函數(shù).

（Ⅰ）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；

（Ⅱ）證明：對于，在區(qū)間上有極小值，且極小值大于0.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（Ⅰ）的定義域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，所以，所以.

因?yàn)?/span>，，

所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.

（Ⅱ）因?yàn)?/span>,所以在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù).

因?yàn)?/span>，，

所以,使得.

所以，；，，

故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以有極小值.

因?yàn)?/span>,

所以.

設(shè)，，

則，

所以，即在上單調(diào)遞減，所以，

即，所以函數(shù)的極小值大于0．

點(diǎn)睛:本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及函數(shù)的單調(diào)性與極值問題.函數(shù)y＝f（x）在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y＝f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線的斜率，過點(diǎn)P的切線方程為：.求函數(shù)y＝f（x）在點(diǎn)P（x0，y0）處的切線方程與求函數(shù)y＝f（x）過點(diǎn)P（x0，y0）的切線方程意義不同，前者切線有且只有一條，且方程為y－y0＝f′（x0）（x－x0），后者可能不只一條．