Question

如圖，D、E是△ABC邊AB、AC上的點(diǎn)，已知AB=3AD，AE=2EC，BE交CD于點(diǎn)F，點(diǎn)P是△FBC內(nèi)（含邊界）一點(diǎn)，若

AP

=λ

AB

+μ

AE

，則λ+μ的取值范圍是（　　）

• A、[

  3

  4

  ，1]
• B、[

  2

  3

  ，1]
• C、[1，

  3

  2

  ]
• D、[1，2]

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量的基本定理及其意義

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：因點(diǎn)P是陰影內(nèi)任一點(diǎn)，所以可在陰影內(nèi)任取點(diǎn)P，因?yàn)闂l件中是用

AB

，

AE

表示的

AP

，所以也想著用

AB

，

AE

來(lái)表示

AP

．根據(jù)向量的加法運(yùn)算，連接BP并延長(zhǎng)交AC于G點(diǎn)，這時(shí)

AP

=

AE

+

EP

，并設(shè)

EG

AE

=m，

GP

GB

=n，并求出m，n的取值范圍，這樣便完成了用

AB

，

AE

表示

AP

了．從而用m，n表示λ+μ，根據(jù)m，n的范圍就可求出λ+μ的范圍．求到這之后，好要求幾個(gè)點(diǎn)處的λ+μ的取值，綜合起來(lái)就得到了λ+μ的范圍了．

解答： 解：如下圖，在陰影區(qū)域任找一點(diǎn)P，連接BP，并延長(zhǎng)交AC于G，設(shè)

EG

AE

=m，

GP

GB

=n則：
0＜m＜

1

2

，0＜n＜1，AG=（m+1）AE，∴

AP

=

AG

+

GP

=(m+1)

AE

+n

GB

=(m+1)

AE

+n(

AB

-

AG

)
=n

AB

+(m+1-mn-n)

AE

，∴λ+μ=m（1-n）+1
∵0＜m＜

1

2

，0＜1-n＜1，∴0＜m(1+n)＜

1

2

，∴0＜λ+μ＜

3

2

，下面求P與B，E，C重合的情況．
P在B點(diǎn)時(shí)：

AP

=1•

AB

+0•

AE

，∴λ+μ=1；
P在B點(diǎn)時(shí)：

AP

=0•

AB

+

3

2

AE

，∴λ+μ=

3

2

；
P在F點(diǎn)時(shí)：過(guò)E作EH∥AB，由條件知，

EH

AD

=

1

3

，∴

EH

BD

=

1

6

，∴EF=

1

7

EB

．
∴

AP

=

AE

+

1

7

EB

=

1

7

AB

+

6

7

AE

，∴λ+μ=1，綜上得λ+μ的取值范圍是：[1，

3

2

]．
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：求解本題的關(guān)鍵便是設(shè)

EG

AE

=m，

GP

GB

=n，而不能忽略的是求幾個(gè)點(diǎn)處的取值．注意運(yùn)用向量的運(yùn)算．