Question

【題目】已知函數(shù)f（x）=alnx﹣x+1（a∈R）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若對任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）證明 （其中n∈N* ， e為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）解： ，定義域（0，+∞），
當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＜0，∴f（x）在（0，+∞）上遞減；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0，得x=a，此時(shí)f'（x），f（x）隨的變化情況如下表：

x	（0，a）	a	（a，+∞）
f'（x）	+	0	﹣
f（x）	增	極大值	減

∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），單調(diào)減區(qū)間為（a，+∞）．
綜上，當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的遞減區(qū)間為（0，+∞）；此時(shí)無增區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），單調(diào)減區(qū)間為（a，+∞）；
（Ⅱ）解：由題意得f（x）max≤0，
當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，+∞）上遞減， ，不合題意；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（0，a），單調(diào)減區(qū)間為（a，+∞），∴f（x）max=f（a），
∴f（a）=alna﹣a+1≤0，令g（x）=xlnx﹣x+1（x＞0），則g'（x）=lnx，
因此，g（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，∴g（x）min=g（1）=0，
∴alna﹣a+1≤0的解只有a=1．
綜上得：實(shí)數(shù)a的取值集合為{1}；
（Ⅲ）證明：要證不等式 ，
兩邊取對數(shù)后得 ，
即證 ，
令 ，則只要證 ，
由（Ⅰ）中的單調(diào)性知當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx﹣x+1在（1，2]上遞減，因此f（x）＞f（1），
即lnx﹣x+1＜0，∴l(xiāng)nx＜x﹣1（1＜x≤2）
令 ，則 ，∴φ（x）在（1，2]上遞增，
∴φ（x）＞φ（1），即 ，則 ．
綜上，原命題得證
【解析】（Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）對任意x∈（0，+∞），都有f（x）≤0，轉(zhuǎn)化為f（x）max≤0，分類求出f（x）max ， 求解不等式可得實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）把要證的不等式變形，然后借助于（Ⅰ）中的函數(shù)的單調(diào)性證明．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減，以及對函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)的理解，了解求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．