Question

已知動圓P與圓F₁：x²+（y+2）²=

121

4

內切，與圓F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，記動圓圓心點P的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程；
（Ⅱ）若直線l過點F₂且與軌跡E相交于P、Q兩點．
（i）設點M（0，m），問：是否存在實數(shù)m，使得直線l繞點F₂無論怎樣轉動，都有

MP

•

MQ

=0成立？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由；
（ii）設△F₁PQ的內切圓半徑為r，求r的最大值．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由動圓P與圓F₁：x²+（y+2）²=

121

4

內切，與圓F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，動圓圓心點P的軌跡為E滿足：

11

2

-|PF₁|=|PF2|-

1

2

，可得|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4．可得動圓圓心點P的軌跡為：以點F₁，F(xiàn)₂為焦點，6為長軸長的橢圓．即可得出．
（II）（i）不存在實數(shù)m，使得直線l繞點F₂無論怎樣轉動，都有能

MP

•

MQ

=0成立．因為取直線l為y軸時，MP與MQ共線，不可能

MP

•

MQ

=0成立．
（ii）當PQ⊥y軸時，△F₁PQ的內切圓半徑r取得最大值．利用三角形的面積的計算公式即可得出（I）由動圓P與圓F₁：x²+（y+2）²=

121

4

內切，與圓F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，動圓圓心點P的軌跡為E滿足：

11

2

-|PF₁|=|PF2|-

1

2

，可得|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4．可得動圓圓心點P的軌跡為：以點F₁，F(xiàn)₂為焦點，6為長軸長的橢圓．即可得出．

解答： 解：（I）∵動圓P與圓F₁：x²+（y+2）²=

121

4

內切，與圓F₂：x²+（y-2）²=

1

4

外切，動圓圓心點P的軌跡為E滿足：

11

2

-|PF₁|=|PF2|-

1

2

，化為|PF₁|+|PF₂|=6＞|F₁F₂|=4．
∴動圓圓心點P的軌跡為：以點F₁，F(xiàn)₂為焦點，6為長軸長的橢圓．
b²=3²-2²=5．
∴橢圓的方程為：

y2

9

+

x2

5

=1．
（II）（i）不存在實數(shù)m，使得直線l繞點F₂無論怎樣轉動，都有

MP

•

MQ

=0成立．因為取直線l為y軸時，MP與MQ共線，不可能

MP

•

MQ

=0成立．
（ii）當PQ⊥y軸時，△F₁PQ的內切圓半徑r取得最大值．
此時P(-

5

3

，2)，Q(

5

3

，2)．
S△F1PQ=

1

2

|F1F2|×|PQ|=

1

2

r（|PQ|+2|F₁P|），
∴4×

10

3

=r×(

10

3

+2

42+( 5 3 )2

)，
解得r=

10

9

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程及其性質、向量垂直與數(shù)量積的關系、三角形的內切圓的性質、三角形的面積計算公式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．