Question

在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD和BDMN都是矩形，且MD⊥平面ABCD，P是MN的中點(diǎn).若AB=4,BC=3,MD=1,

（Ⅰ）求證:DP∥平面ANC；

（Ⅱ）求二面角N-AC-B的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）證明:連接BD交AC于O,連接NO,……………………………1分

∵四邊形ABCD,BDMN都是矩形,

∴O是BD的中點(diǎn),又P是MN的中點(diǎn),

∴PN∥DO

∴四邊形PNOD是平行四邊形，

∴DP∥ON………………………………2分

又DP平面ANC，NO平面ANC

∴DP∥平面ANC；……………………………4分

（Ⅱ）解法一：作BH垂直于AC于H連接NH ，……………………………………………………6分

∵M(jìn)D⊥平面ABCD,DM∥NB,

∴NH⊥平面ABCD,

由三垂線定理得：NH⊥AC,…………………………………8分

∴∠NHB是二面角N-AC-B的平面角，………………………9分

在RT△NBH中，

,,,…………………11分

∴,

∴二面角N-AC-B的余弦值為…………………………12分

解法二:建立如圖所示的坐標(biāo)系,

則:A(3,0,0),C(0,4,0),N(3,4,1),………………………………………………7分

設(shè)是平面ANC的一個(gè)法向量,

又,

則

解得:

∴………………………9分

又是平面ABC的一個(gè)法向量,……………………………10分

設(shè)二面角N-AC-B的大小為,

則,

∴二面角N-AC-B的余弦值為……………………………………………12分