Question

13．定義在R上的函數(shù)y=f（x）是減函數(shù)，且函數(shù)y=f（x-1）的圖象關于（1，0）成中心對稱，若s，t滿足不等式f（s²-2s）≤-f（2t-t²）．則當1≤s≤4時，S-2t的最小值為是-4．

Answer 1

分析 首先由由f（x-1）的圖象關于（1，0）中心對稱知f（x）的圖象關于（0，0）中心對稱，根據奇函數(shù)定義與減函數(shù)性質得出s與t的關系式，然后利用線性規(guī)劃的知識即可求得結果．

解答 解：把函數(shù)y=f（x）向右平移1個單位可得函數(shù)y=f（x-1）的圖象
∵函數(shù)y=f（x-1）得圖象關于（1，0）成中心對稱
∴函數(shù)y=f（x）的圖象關于（0，0）成中心對稱，即函數(shù)y=f（x）為奇函數(shù)
∵f（s²-2s）≤-f（2t-t²）=f（t²-2t）且函數(shù)y=f（x）在R上單調遞減
∴s²-2s≥t²-2t在s∈[1，4]上恒成立
即（t-s）（s+t-2）≤0
∵1≤s≤4
∴-2≤2-s≤1，即2-s≤s
∴2-s≤t≤s
作出不等式所表示的平面區(qū)域，如圖的陰影部分的△ABC，C（4，-2），A（1，1），B（4，4）．
∴s-2t在B（4，4）處取得最小值-4．
故答案為：-4．

點評 本題綜合考查函數(shù)的奇偶性、單調性知識，同時考查由最大值、最小值求取值范圍的策略，以及運算能力，屬中檔題．