【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求證： 函數(shù)是偶函數(shù)；

（2）若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)有且僅有個零點，求實數(shù)的取值范圍．

【答案】(1)見解析；（2）的取值范圍為；（3）的取值范圍為.

【解析】試題分析: （1）當(dāng)時， ，定義域為．判斷即可證明;

（2）由題意知， 在上恒成立，

即在上恒成立． 分當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，三種情況討論可得實數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時， ，有唯一零點，不符合題意；

當(dāng)時，

①若，則，因此在內(nèi)無零點，可判斷在內(nèi)最多有兩個零點，不符合題意；

②若，則，所以在上單調(diào)增，

在上單調(diào)減，而， ，

所以在內(nèi)有兩個零點， 再分，和兩種情況討論,可得實數(shù)的取值范圍．

試題解析:（1）當(dāng)時， ，定義域為．

因為對任意的，都有，

所以函數(shù)是偶函數(shù)．

（2）由題意知， 在上恒成立，

即在上恒成立．

①當(dāng)時， ，

因為當(dāng)時， 取得最小值，所以；

②當(dāng)時， 恒成立；

③當(dāng)時， ，

因為，所以的值域為，所以．

綜上所述， 的取值范圍為．

（3）當(dāng)時， ，有唯一零點，不符合題意；

當(dāng)時，

①若，則，所以在上單調(diào)增，則，

因此在內(nèi)無零點，

而在內(nèi)最多有兩個零點，不符合題意；

②若，則，所以在上單調(diào)增，

在上單調(diào)減，而， ，

所以在內(nèi)有兩個零點，

若，則，所以在上單調(diào)減，又，

此時在內(nèi)無零點，不符合題意；

若，則，所以在上單調(diào)增，

在上單調(diào)減，

要使在內(nèi)有兩個零點，則，

即，故．

綜上所述， 的取值范圍為．

練習(xí)冊系列答案
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（Ⅰ）求曲線 的方程；
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A.2
B.3
C.
D.

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A.1
B.
C.2
D.

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