【題目】如圖,在四棱錐中, 是正三角形, 是等腰三角形, , .
(1)求證: ;
(2)若, ,平面平面,直線與平面所成的角為45°,求二面角的余弦值.
【答案】(1)見(jiàn)解析;(2).
【解析】試題分析:(1)取BD中點(diǎn)O,連結(jié)CO,EO,推導(dǎo)出CO⊥BD,EO⊥BD,由此能證明BE=DE.
(2)以O為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角B﹣AE﹣D的余弦值.
試題解析:
證明:(1)取BD中點(diǎn)O,連結(jié)CO,EO,
∵△BCD是等腰三角形,∠BCD=120°,∴CB=CD,∴CO⊥BD,
又∵EC⊥BD,EC∩CO=C,∴BD⊥平面EOC,∴EO⊥BD,
在△BDE中,∵O為BD的中點(diǎn),∴BE=DE.
(2)∵平面EBD⊥平面ABCD,平面EBD∩平面ABCD=BD,
EO⊥BD,∴EO⊥平面ABCD,
又∵CO⊥BD,AO⊥BD,
∴A,O,C三點(diǎn)共線,AC⊥BD,
以O為原點(diǎn),OA為x軸,OB為y軸,OE為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,
在正△ABD中,AB=2,∴AO=3,BO=DO=,
∵直線AE與平面ABD所成角為45°,∴EO=AO=3,
A(3,0,0),B(0,,0),D(0,﹣,0),E(0,0,3),
=(﹣3,,0),=(﹣3,﹣,0),=(﹣3,0,3),
設(shè)平面ABE的法向量=(a,b,c),
則,取a=1,得=(1,,1),
設(shè)平面ADE的法向量=(x,y,z),
則,取x=1,得=(1,﹣,1),
設(shè)二面角B﹣AE﹣D為θ,
則cosθ===.
∴二面角B﹣AE﹣D的余弦值為.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,三棱柱中, 平面, .過(guò)的平面交于點(diǎn),交于點(diǎn).
(l)求證: 平面;
(Ⅱ)求證: ;
(Ⅲ)記四棱錐的體積為,三棱柱的體積為.若,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】設(shè)函數(shù),其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
(1)若曲線在軸上的截距為,且在點(diǎn)處的切線垂直于直線,求實(shí)數(shù)的值;
(2)記的導(dǎo)函數(shù)為, 在區(qū)間上的最小值為,求的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,四棱錐中,底面是平行四邊形, , 平面底面,且是邊長(zhǎng)為的等邊三角形, , 是 中點(diǎn).
(1)求證:平面平面;
(2)證明: , 且與的面積相等.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】隨機(jī)抽取100名學(xué)生,測(cè)得他們的身高(單位: ),按照區(qū)間,
分組,得到樣本身高的頻率分布直方圖(如圖).
(1)求頻率分布直方圖中的值及身高在以上的學(xué)生人數(shù);
(2)將身高在區(qū)間內(nèi)的學(xué)生依次記為三個(gè)組,用分層抽樣的方法從這三個(gè)組中抽取6人,求從這三個(gè)組分別抽取的學(xué)生人數(shù);
(3)在(2)的條件下,要從6名學(xué)生中抽取2人.用列舉法計(jì)算組中至少有1人被抽中的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-5:不等式選講
已知函數(shù).
(1)解不等式;
(2)若關(guān)于的方程的解集為空集,求實(shí)數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知數(shù)列, , , 滿足,且當(dāng)時(shí), ,令.
(Ⅰ)寫(xiě)出的所有可能的值.
(Ⅱ)求的最大值.
(Ⅲ)是否存在數(shù)列,使得?若存在,求出數(shù)列;若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某班為了活躍元旦晚會(huì)氣氛,主持人請(qǐng)12位同學(xué)做一個(gè)游戲,第一輪游戲中,主持人將標(biāo)有數(shù)字1到12的十二張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中,每人依次從中取出一張卡片,取到標(biāo)有數(shù)字7到12的卡片的同學(xué)留下,其余的淘汰;第二輪將標(biāo)有數(shù)字1到6的六張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中,每人依次從中取出一張卡片,取到標(biāo)有數(shù)字4到6的卡片的同學(xué)留下,其余的淘汰;第三輪將標(biāo)有數(shù)字1,2,3的三張相同的卡片放入一個(gè)不透明的盒子中,每人依次從中取出一張卡片,取到標(biāo)有數(shù)字2,3的卡片的同學(xué)留下,其余的淘汰;第四輪用同樣的辦法淘汰一位同學(xué),最后留下的這位同學(xué)獲得一個(gè)獎(jiǎng)品.已知同學(xué)甲參加了該游戲.
(1)求甲獲得獎(jiǎng)品的概率;
(2)設(shè)為甲參加游戲的輪數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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