Question

1．已知函數(shù)f（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x，a∈R
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求函數(shù)在（1，f（1）））處的切線方程
（2）令g（x）=f（x）-ax+1，求g（x）的極值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出g（x）的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的極值即可．

解答 解：（1）a=0時(shí)，f（x）=lnx+x，f′（x）=$\frac{1}{x}$+1，
f（1）=1，f′（1）=2，
故切線方程是：y-1=2（x-1），
整理得：y=2x-1；
（2）g（x）=lnx-$\frac{1}{2}$ax²+x-ax+1，（x＞0），
g′（x）=$\frac{1}{x}$-ax+1-a=$\frac{（-ax+1）（x+1）}{x}$，
當(dāng)a≤0時(shí)，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）遞增，
函數(shù)無(wú)極值；
當(dāng)a＞0時(shí)，令g′（x）＞0，解得：x＜$\frac{1}{a}$，
令g′（x）＜0，解得：x＞$\frac{1}{a}$，
故g（x）在（0，$\frac{1}{a}$）遞增，在（$\frac{1}{a}$，+∞）遞減，
故g（x）在x=$\frac{1}{a}$處取得極大值$\frac{1}{2a}$-lna，無(wú)極小值．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、極值問(wèn)題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．