Question

10．設(shè)函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x-lnx（x＞0），則y=f（x）（　�。�

• A． 在區(qū)間（ $\frac{1}{e}$，1），（1，e）內(nèi)均有零點
• B． 在區(qū)間（ $\frac{1}{e}$，1），（1，e）內(nèi)均無零點
• C． 在區(qū)間（ $\frac{1}{e}$，1）內(nèi)有零點，在區(qū)間（1，e）內(nèi)無零點
• D． 在區(qū)間（ $\frac{1}{e}$，1），內(nèi)無零點，在區(qū)間（1，e）內(nèi)有零點

Answer 1

分析 先對函數(shù)f（x）進行求導(dǎo)，再根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)情況判斷原函數(shù)的增減性可得答案．

解答 解：由題得f′（x）=$\frac{x-3}{3x}$，令f′（x）＞0得x＞3；
令f′（x）＜0得0＜x＜3；f′（x）=0得x=3，
故知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，3）上為減函數(shù)，在區(qū)間（3，+∞）為增函數(shù)，
在點x=3處有極小值1-ln3＜0；
又f（1）=$\frac{1}{3}$＞0，f（e）=$\frac{e}{3}$-1＜0，f（$\frac{1}{e}$）=$\frac{1}{3e}$+1＞0，
故選：D．

點評 本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的增減性與原函數(shù)的單調(diào)性之間的關(guān)系．即當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時原函數(shù)單調(diào)遞減．