Question

(本題滿分13分)已知函數(shù)，(a、b為常數(shù))．

(1)求函數(shù)在點(diǎn)(1，)處的切線方程；

(2)當(dāng)函數(shù)g(x)在x=2處取得極值-2．求函數(shù)的解析式；

(3)當(dāng)時(shí)，設(shè)，若函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；

Answer 1

（1）切線方程為；（2）g(x)=(x∈R)；（3），)．

【解析】

試題分析：（1）先用導(dǎo)數(shù)求出切線的斜率，再由點(diǎn)斜式寫出切線的方程；

（2）因?yàn)楹瘮?shù)g(x)在x=2處取得極值-2，所以， ，據(jù)此列方程組確定的值，從而得到函數(shù)的解析式；

（3）“函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間”等價(jià)于：“ ”在這義域同解集非空，等價(jià)于

于是問題最終轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.

試題解析：【解析】
(1)由()，可得()，∴f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程是，即，

所求切線方程為； 4分

(2)∵又g(x)= 可得，且g(x)在x=2處取得極值-2．

∴，可得解得，．

所求g(x)=(x∈R) ． 8分

(3)∵，()．

依題存在使，∴即存在使，

∵不等式等價(jià)于 (*)

令，∵．

∴在(0，1)上遞減，在[1，)上遞增，故，)

∵存在，不等式(*)成立，∴．所求，)． 13分

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)性質(zhì)中的應(yīng)用；3、等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想；4、變量分離法求參數(shù)的取值范圍問題.