17.如圖,已知DC⊥平面ABC,BE∥CD,是正三角形,AC=CD=2BE,且點M是AD上的一個動點.
(1)若點M是AD的中點,求證:ME∥平面ABC;
(2)求證:平面ADE⊥平面ACD.

分析 (1)取AC中點為F,連接BF,證明四邊形MEBF是平行四邊形,可得ME∥BF,即可證明ME∥平面ABC;
(2)證明ME⊥平面ACD,即可證明平面ADE⊥平面ACD.

解答 證明:(1)取AC中點為F,連接BF.
∵AM=MD,AF=FC,∴MF平行且等于$\frac{1}{2}$DC.
∵BE平行且等于$\frac{1}{2}$DC,∴BE平行且等于MF,
∴四邊形MEBF是平行四邊形,
∴ME∥BF.
∵ME?平面ABC,BF?平面ABC,
∴ME∥平面ABC;(6分)
(2)∵AF=CF,AB=CB,∴BF⊥AC.
∵DC⊥平面ABC,BF?平面ABC,∴DC⊥BF.
∵DC∩AC=C,∴BF⊥平面ACD.
由(1)中證明可知,ME∥BF.
∴ME⊥平面ACD,
∵ME?平面ADE,
∴平面ADE⊥平面ACD.…(12分)

點評 本題考查空間直線和平面的位置關(guān)系,考查空間想象能力、轉(zhuǎn)化、論證能力.

練習(xí)冊系列答案
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A. B.

C. D.

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5.如圖,在多面體ABCDE中,DB⊥平面ABC,AE∥DB,且△ABC是邊長為2的等邊三角形,2AE=BD=2.
(Ⅰ)若F是線段CD的中點,證明:EF⊥面DBC;
(Ⅱ)求二面角D-EC-B的平面角的余弦值.

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12.對部分4G手機用戶每日使用流量(單位:M)進行統(tǒng)計,得到如下記錄:
流量x0≤x<55≤x<1010≤x<1515≤x<2020≤x<25x≥25
頻率0.050.250.300.250.150
將手機日使用的流量統(tǒng)計到各組的頻率視為概率,并假設(shè)每天手機的日流量相互獨立.
(Ⅰ)求某人在未來連續(xù)4天里,有連續(xù)3天的手機的日使用流量都不低于15M且另1天的手機日使用流量低于5M的概率;
(Ⅱ)用X表示某人在未來3天時間里手機日使用流量不低于15M的天數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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2.設(shè)F1,F(xiàn)2分別是橢圓C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$(a>b>0)的左右焦點,M是C上一點且MF2與x軸垂直,直線MF1與C的另一個交點為N.
(1)若直線MN的斜率為$\frac{3}{4}$,求C的離心率;
(2)若直線MN在y軸上的截距為2,且|MN|=5|F1N|,求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.

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9.已知拋物線C:y2=4x,O是原點,A,B為拋物線上兩動點,且滿足OA⊥OB,若OM⊥AB于M點.
(Ⅰ)求M的軌跡方程.
(Ⅱ)過點F(1,0)作互相垂直的兩條直線l1,l2,分別交拋物線C于點P、Q和點K、L.設(shè)線段PQ,KL的中點分別為R、T,求證:直線RT恒過一個定點.

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5.如圖,已知平面ABC⊥平面ACDE,且△ABC為等腰直角三角形,AC=BC=4,等腰梯形ACDE中,AC∥DE且AE=DE=2.
(Ⅰ)求證:平面ABE⊥平面BCE;
(Ⅱ)求二面角C-BE-D的正弦值.

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5.△ABC中,$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}=0,|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}$|=2,M是BC的中點,P點在△ABC內(nèi)部或其邊界上運動,則$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{CP}$的取值范圍是( 。
A.[0,2]B.[1,2]C.[-2,0]D.[-2,-1]

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