Question

【題目】隨著智能手機(jī)的普及，手機(jī)計(jì)步軟件迅速流行開來，這類軟件能自動(dòng)記載每個(gè)人每日健步的步數(shù)，從而為科學(xué)健身提供一定的幫助.某市工會(huì)為了解該市市民每日健步走的情況，從本市市民中隨機(jī)抽取了2000名市民（其中不超過40歲的市民恰好有1000名），利用手機(jī)計(jì)步軟件統(tǒng)計(jì)了他們某天健步的步數(shù)，并將樣本數(shù)據(jù)分為，，，，，，，，九組（單位：千步），將抽取的不超過40歲的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖如右，將40歲以上的市民的樣本數(shù)據(jù)繪制成頻數(shù)分布表如下，并利用該樣本的頻率分布估計(jì)總體的概率分布.

分組 （單位：千步）
頻數(shù)	10	20	20	30	400	200	200	100	20

（1）現(xiàn)規(guī)定，日健步步數(shù)不低于13000步的為“健步達(dá)人”，填寫下面列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表判斷能否有％的把握認(rèn)為是否為“健步達(dá)人”與年齡有關(guān)；

	健步達(dá)人	非健步達(dá)人	總計(jì)
40歲以上的市民
不超過40歲的市民
總計(jì)

（2）（ⅰ）利用樣本平均數(shù)和中位數(shù)估計(jì)該市不超過40歲的市民日健步步數(shù)（單位：千步）的平均數(shù)和中位數(shù)；

（ⅱ）由頻率分布直方圖可以認(rèn)為，不超過40歲的市民日健步步數(shù)（單位：千步）近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)（每組數(shù)據(jù)取區(qū)間的中點(diǎn)值），的值已求出約為.現(xiàn)從該市不超過40歲的市民中隨機(jī)抽取5人，記其中日健步步數(shù)位于的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望.

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

若，則，.

Answer 1

【答案】（1）填表見解析；有％的把握認(rèn)為是否為“健步達(dá)人”與年齡有關(guān)（2）（ⅰ）平均數(shù)為，中位數(shù)為（ⅱ）

【解析】

（1）完善列聯(lián)表，計(jì)算，得到答案.

（2）（�。┯�(jì)算平均值為，根據(jù)頻率知樣本中位數(shù)落在第5組，設(shè)樣本中位數(shù)為，則，得到答案；（ⅱ）得到，計(jì)算得到答案.

（1）列聯(lián)表為

	健步達(dá)人	非健步達(dá)人	總計(jì)
40歲以上的市民	520	480	1000
不超過40歲的市民	400	600	1000
總計(jì)	920	1080	2000

，

所以有％的把握認(rèn)為是否為“健步達(dá)人”與年齡有關(guān).

（2）（�。�樣本平均數(shù)為

由前4組的頻率之和為，

前5組的頻率之和為，

知樣本中位數(shù)落在第5組，設(shè)樣本中位數(shù)為，則，∴.

故可以估計(jì)：該市不超過40歲的市民日健步步數(shù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為.

（ⅱ），

而

，

∴，

∴的數(shù)學(xué)期望為.