Question

11．對于三次函數(shù)f（x）=ax³+bx²+cx+d（a≠0），給出定義：設(shè)f′（x）是函數(shù)y=f（x）的導(dǎo)數(shù)，f″（x）是f′（x）的導(dǎo)數(shù)，若方程f″（x）=0有實(shí)數(shù)解x₀，則稱點(diǎn)（x₀，f（x₀））為函數(shù)y=f（x）的“拐點(diǎn)”．經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點(diǎn)”就是對稱中心．設(shè)函數(shù)g（x）=2x³-3x²+$\frac{3}{2}$，則g（$\frac{1}{100}$）+g（$\frac{2}{100}$）+…+g（$\frac{99}{100}$）=（　�。�

• A． 100
• B． 99
• C． 50
• D． 0

Answer 1

分析 由題意對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，1）對稱，即f（x）+f（1-x）=2，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵g（x）=2x³-3x²+$\frac{3}{2}$，
∴g′（x）=6x²-6x，g″（x）=12x-6，
令g″（x）=0，解得：x=$\frac{1}{2}$，
而g（$\frac{1}{2}$）=1，
故函數(shù)g（x）關(guān)于點(diǎn)（$\frac{1}{2}$，1）對稱，
∴g（x）+g（1-x）=2，
∴g（$\frac{1}{100}$）+g（$\frac{2}{100}$）+…+g（$\frac{99}{100}$）
=g（$\frac{1}{100}$）+g（$\frac{99}{100}$）+g（$\frac{2}{100}$）+g（$\frac{98}{100}$）+…+g（$\frac{49}{100}$）+g（$\frac{51}{100}$）+g（$\frac{1}{2}$）
=2×49+1=99，
故選：B．

點(diǎn)評 本題主要考查導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算，利用條件求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵．求和的過程中使用了倒序相加法．