Question

8．已知函數(shù)f（x）=|x+$\frac{2{a}^{2}+1}{a}$|+|x-a|（a＞0）
（Ⅰ）證明：f（x）≥2$\sqrt{3}$；
（Ⅱ）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）≥5的解集．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)以及基本不等式的性質(zhì)證明即可；（Ⅱ）將a的值代入，通過(guò)討論x的范圍求出不等式的解集即可．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，
∴f（x）=|x+$\frac{2{a}^{2}+1}{a}$|+|x-a|≥|x+2a+$\frac{1}{a}$-x+a|=3a+$\frac{1}{a}$≥2$\sqrt{3a•\frac{1}{a}}$=2$\sqrt{3}$，
當(dāng)且僅當(dāng)3a=$\frac{1}{a}$即a=$\frac{\sqrt{3}}{3}$時(shí)”=“成立；
（Ⅱ）a=1時(shí)，f（x）=|x+3|+|x-1|≥5，
x≥1時(shí)，x+3+x-1≥5，解得：x≥$\frac{3}{2}$，
-3＜x＜1時(shí)，x+3+1-x=4≥5，無(wú)解，
x≤-3時(shí)，-x-3-x+1=-2x-2≥5，解得：x≤-$\frac{7}{2}$，
故不等式的解集是{x|x≥$\frac{3}{2}$或x≤-$\frac{7}{2}$}．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查基本不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．