【題目】已知函數(shù)，.

（1）若，求的最大值；

（2）當時，求證：.

【答案】(1) (2)見解析

【解析】分析：（1）給定區(qū)間求最值需先求導判出在相應區(qū)間上的單調(diào)性；

（2）構(gòu)造新函數(shù)，運用放縮進行處理。先證，又由，，所以。

詳解：（1）解：當時，，

由，得，所以時，；時，，

因此的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

的最大值為 .

（2）證明：先證，

令，

則 ，

由，與的圖象易知，存在，使得，

故時，；時，，

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，

所以的最大值為，

而，.

又由，，所以，

當且僅當，取“=”成立，即.

點晴：導數(shù)是做題的工具，在解決問題時，一般首先要對題干的轉(zhuǎn)化，帶著目標做下手，一般都是轉(zhuǎn)化成最值的問題，然后最值的問題都是利用單調(diào)性去解決

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線上一點到焦點的距離，傾斜角為的直線經(jīng)過焦點，且與拋物線交于兩點、.

（1）求拋物線的標準方程及準線方程；

（2）若為銳角，作線段的中垂線交軸于點.證明：為定值，并求出該定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，正方體的棱長為1，線段上有兩個動點，且，則下列結(jié)論中錯誤的是（ ）

A.B.平面ABCD

C.三棱錐的體積為定值D.的面積與的面積相等

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】

對定義在區(qū)間上的函數(shù)，若存在閉區(qū)間和常數(shù)，使得對任意的都有，且對任意的都有恒成立，則稱函數(shù)為區(qū)間上的“U型”函數(shù)。

（1）求證：函數(shù)是上的“U型”函數(shù)；

（2）設是（1）中的“U型”函數(shù)，若不等式對一切的恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（3）若函數(shù)是區(qū)間上的“U型”函數(shù)，求實數(shù)和的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本，當年產(chǎn)量不足80千件時，（萬元）；當年產(chǎn)量不小于80千件時，（萬元），每件售價為0.05萬元，通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完.

（1）寫出年利潤（萬元）關于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；

（2）年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】按照我國《機動車交通事故責任強制保險條例》規(guī)定，交強險是車主必須為機動車購買的險種，若普通7座以下私家車投保交強險第一年的費用（基準保費）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時，實行的是保費浮動機制，保費與上一、二、三個年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相關聯(lián)，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費率也就越高，具體浮動情況如下表：

交強險浮動因素和浮動費率比率表

投保類型

浮動因素

浮動比率

上一個年度未發(fā)生有責任道路交通事故

下浮10%

上兩個年度未發(fā)生有責任道路交通事故

下浮20%

上三個及以上年度未發(fā)生有責任道路交通事故

下浮30%

上一個年度發(fā)生一次有責任不涉及死亡的道路交通事故

0%

上一個年度發(fā)生兩次及兩次以上有責任不涉及死亡的道路交通事故

上浮10%

上一個年度發(fā)生有責任道路交通死亡事故

上浮30%

某機構(gòu)為了研究某一品牌普通7座以下私家車的投保情況，隨機抽取了80輛車齡已滿三年的該品牌同型號私家車在下一年續(xù)保時的情況，統(tǒng)計得到了下面的表格：

類型

數(shù)量

20

10

10

20

15

5

以這80輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問題：

（1）某家庭有一輛該品牌車且車齡剛滿三年，記為該車在第四年續(xù)保時的費用，求的分布列；

（2）某銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強險保費高于基準保費的車輛記為事故車.

①若該銷售商購進三輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至少有2輛事故車的概率；

②假設購進一輛事故車虧損4000元，一輛非事故盈利8000元，若該銷售商一次購進100輛（車齡已滿三年）該品牌二手車，求其獲得利潤的期望值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)f（x）＝4cosωxsin（ωx）（ω＞0）的最小正周期是π．

（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，π）上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）若f（x0），x0∈[，]，求cos2x0的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)

（Ⅰ）求值；

（Ⅱ）判斷并證明該函數(shù)在定義域上的單調(diào)性；

（Ⅲ）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅳ）設關于的函數(shù)有零點，求實數(shù)的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】給出下列四個命題：

①回歸直線過樣本點中心（，）

②將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，平均值不變

③將一組數(shù)據(jù)中的每個數(shù)據(jù)都加上或減去同一個常數(shù)后，方差不變

④在回歸方程＝4x+4中，變量x每增加一個單位時，y平均增加4個單位

其中錯誤命題的序號是（　�。�

A.①B.②C.③D.④

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