Question

4．已知O為△ABC的外心，AB=3，AC=4，$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，且2x+y=1（x，y≠0），則cos∠BAC=（　�。�

• A． $\frac{3}{8}$
• B． $\frac{3}{4}$
• C． $\frac{2}{3}$
• D． $\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 由$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$得，${\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=x{\overrightarrow{AB}}^{2}+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}\\{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}}\end{array}\right.}^{\;}$⇒$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{9}{2}，\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=8$$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}=9x+12cos∠BAC}\\{8=12xcos∠BAC+16y}\end{array}\right.$聯(lián)立2x+y=1解得cos∠BAC

解答 解：如圖，由$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$得，${\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=x{\overrightarrow{AB}}^{2}+y\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}}\\{\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=x\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+y{\overrightarrow{AC}}^{2}}\end{array}\right.}^{\;}$
∵O為△ABC的外心，由向量數(shù)量積的幾何意義可知：$\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AB}=\frac{9}{2}，\overrightarrow{AO}•\overrightarrow{AC}=8$
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{9}{2}=9x+12cos∠BAC}\\{8=12xcos∠BAC+16y}\end{array}\right.$聯(lián)立2x+y=1解得cos∠BAC=$\frac{3}{8}$．
故選：A．

點評 考查向量數(shù)量積的運算及其計算公式，三角形外接圓圓心的概念，由向量數(shù)量積的幾何意義，屬于難題．