【題目】在平面直角坐標系xOy中,已知拋物線y2=2px(p>0)上一點P( ,m)到準線的距離與到原點O的距離相等,拋物線的焦點為F.
(1)求拋物線的方程;
(2)若A為拋物線上一點(異于原點O),點A處的切線交x軸于點B,過A作準線的垂線,垂足為點E.試判斷四邊形AEBF的形狀,并證明你的結(jié)論.
【答案】
(1)解:拋物線y2=2px(p>0)的焦點F( ,0),準線方程為x=﹣ ,
由題意點 到準線的距離為|PO|,
由拋物線的定義,可得點P到準線的距離為|PF|,
即有|PO|=|PF|,即點 在線段OF的中垂線上,
則 = ,解得p=3,則拋物線的方程為y2=6x
(2)解:四邊形AEBF為菱形.
證明:拋物線y2=6x的焦點為F( ,0),準線方程為x=﹣ ,
由拋物線的對稱性,設點 在x軸的上方,
由y2=6x,兩邊對x求導可得,2yy′=6,即y′= ,
可得點A處的切線的斜率為 ,
則點A處切線的方程為 ,
令上式中y=0,得 ,
可得點B的坐標為 ,又 ,
所以 ,
所以 ,所以FA∥BE,又AE∥FB,
故四邊形AEBF為平行四邊形,
再由拋物線的定義,得AF=AE,
所以四邊形AEBF為菱形.
【解析】(1)求得拋物線的焦點坐標和準線方程,運用拋物線的定義可得點 在線段OF的中垂線上,可得p=3,進而得到拋物線的方程;(2)四邊形AEBF為菱形.由拋物線的對稱性,設點 在x軸的上方,求出拋物線的切線的斜率和切線的方程,令y=0,求得B的坐標,E,F(xiàn)的坐標,由向量相等即可得到四邊形的形狀.
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【題目】在△ABC中,角A,B,C的對邊分別是a、b、c,已知向量 =(cosA,cosB), =(a,2c﹣b),且 ∥ .
(1)求角A的大;
(2)若a=4,求△ABC面積的最大值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=alnx+ax2+bx,(a,b∈R).
(1)設a=1,f(x)在x=1處的切線過點(2,6),求b的值;
(2)設b=a2+2,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[1,4]上的最大值;
(3)定義:一般的,設函數(shù)g(x)的定義域為D,若存在x0∈D,使g(x0)=x0成立,則稱x0為函數(shù)g(x)的不動點.設a>0,試問當函數(shù)f(x)有兩個不同的不動點時,這兩個不動點能否同時也是函數(shù)f(x)的極值點?
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【題目】 如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD= ,PA⊥PD,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O為AD中點.
(1) 求直線PB與平面POC所成角的余弦值;
(2)線段上是否存在一點,使得二面角的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
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【題目】已知橢圓C1:(a>b>0)的離心率為,x軸被曲線C2:y=x2-b截得的線段長度等于C1的短軸長.已知C2與y軸的交點為M,過坐標原點O的直線l與C2相交于點A,B,直線MA,MB分別與C1相交于點D,E.
(1)求C1,C2的方程;
(2)求證:MA⊥MB;
(3)記△MAB,△MDE的面積分別為S1,S2,若,求λ的取值范圍.
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【題目】PM2.5(單位:μg/m3)表示每立方米空氣中可入肺顆粒物的含量,這個值越高,空氣污染越嚴重.PM2.5的濃度與空氣質(zhì)量類別的關系如下表所示:
從甲城市2016年9月份的30天中隨機抽取15天,這15天的PM2.5的日均濃度指數(shù)數(shù)據(jù)如莖葉圖所示.
(1)試估計甲城市在2016年9月份的30天中,空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù);
(2)從甲城市的這15個監(jiān)測數(shù)據(jù)中任取2個,設X是空氣質(zhì)量類別為優(yōu)或良的天數(shù),求X的分布列和數(shù)學期望.
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【題目】若函數(shù)為定義域上單調(diào)函數(shù),且存在區(qū)間(其中),使得當時,的取值范圍恰為,則稱函數(shù)是上的正函數(shù),區(qū)間叫做等域區(qū)間.
(1)已知是上的正函數(shù),求的等域區(qū)間;
(2)試探究是否存在實數(shù),使得函數(shù)是上的正函數(shù)?若存在,請求出實數(shù)的取值范圍;若不存在,請說明理由.
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【題目】在數(shù)列{an}中,a1=2,an+1=4an-3n+1,n∈N*.
(1)求證:數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列;
(2)求數(shù)列{an}的前n項和Sn;
(3)求證:不等式Sn+1≤4Sn對任意n∈N*皆成立.
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【題目】已知數(shù)列{an},其前n項和為Sn .
(1)若{an}是公差為d(d>0)的等差數(shù)列,且{ }也為公差為d的等差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)若數(shù)列{an}對任意m,n∈N* , 且m≠n,都有 =am+an+ ,求證:數(shù)列{an}是等差數(shù)列.
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