已知點P(4,4)，圓C：(x－m)2＋y2＝5(m＜3) 與橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)有一個公共點A(3,1)，F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切.

(1)求m的值與橢圓E的方程；

(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求·的取值范圍.

(1)點A代入圓C的方程，得(3－m)2＋1＝5，

∵m＜3，∴m＝1.圓C的方程為(x－1)2＋y2＝5.

設(shè)直線PF1的斜率為k，則PF1：y＝k(x－4)＋4，

即kx－y－4k＋4＝0.

∵直線PF1與圓C相切，∴＝.

解得k＝，或k＝.

當k＝時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為，不合題意，舍去.

當k＝時，直線PF1與x軸的交點橫坐標為－4，

∴c＝4，F(xiàn)1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0).

2a＝|AF1|＋|AF2|＝5＋＝6，a＝3，

a2＝18，b2＝2.橢圓E的方程為：＋＝1.

(2)＝(1,3)，設(shè)Q(x，y)，＝(x－3，y－1)，

·＝(x－3)＋3(y－1)＝x＋3y－6.

∵＋＝1，即x2＋(3y)2＝18，

而x2＋(3y)2≥2|x|·|3y|，∴－18≤6xy≤18.

則(x＋3y)2＝x2＋(3y)2＋6xy＝18＋6xy的取值范圍是[0,36].

x＋3y的取值范圍是[－6,6].

∴x＋3y－6的取值范圍是[－12,0]，

即·的取值范圍是[－12,0].

練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)已知點P（4，4），圓C：（x-m）2+y2=5（m＜3）與橢圓E：
x2
a2
+
y2
b2
=1 (a＞b＞0)有一個公共點A（3，1），F(xiàn)1、F2分別是橢圓的左、右焦點，直線PF1與圓C相切．
（1）求直線PF1的方程；
（2）求橢圓E的方程；
（3）設(shè)Q為橢圓E上的一個動點，求證：以QF1為直徑的圓與圓x2+y2=18相切．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點和短軸的兩個端點構(gòu)成邊長為2的正方形．
（Ⅰ）求橢圓 C的方程；
（Ⅱ）過點Q（1，0）的直線 l與橢圓C 相交于A，B兩點．點P（4，3），記直線PA，PB的斜率分別為k1，k2，當k1•k2 最大時，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知圓C的圓心在坐標原點，且過點M（1 ， 
3
）．
（1）求圓C的方程；
（2）已知點P是圓C上的動點，試求點P到直線x+y-4=0的距離的最小值；
（3）若直線l與圓C相切，且l與x，y軸的正半軸分別相交于A，B兩點，求△ABC的面積最小時直線
l的方程．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知點P在曲線y=sinx上，a為曲線在點P處的切線的傾斜角，則a的取值范圍是（　�。�
A、[0，
π
4
]
B、[
π
4
，
3π
4
]
C、[0，
π
4
]∪[
3π
4
，π)
D、[
3π
4
，π）

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