Question

3．設函數(shù)f（x）=x²-2|x|-1．
（1）求證：f（x）是偶函數(shù)；
（2）畫出函數(shù)f（x）的圖象，并寫出f（x）增區(qū)間；
（3）若方程f（x）=a有兩個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據已知中函數(shù)解析式可得f（-x）=f（x），結合偶函數(shù)定義，可得答案；
（2）根據二次函數(shù)的圖象和性質，可得函數(shù)圖象，數(shù)形結合，要得函數(shù)的單調增區(qū)間；
（3）由（2）中的圖象可得：當a=-2，或a＞-1時，方程f（x）=a有兩個不相等的實數(shù)根．

解答 證明：（1）函數(shù)f（x）=x²-2|x|-1的定義域R關于原點對稱，
又由f（-x）=（-x）²-2|-x|-1=x²-2|x|-1=f（x），
故f（x）是偶函數(shù)；
（2）函數(shù)f（x）的圖象如下圖所示：

由圖可得：函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為[-1，0]，[1，+∞）
（3）由（2）中的圖象可得：
當a=-2，或a＞-1時，方程f（x）=a有兩個不相等的實數(shù)根．

點評 本題考查的知識點是二次函數(shù)的圖象和性質，函數(shù)的圖象，函數(shù)的單調性，分段函數(shù)的應用，難度中檔．