過拋物線x2=4y上兩個(gè)不同的點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于點(diǎn)P，并且滿足.

（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；

（2）知點(diǎn)F(0,1)，是否存在常數(shù)λ使得？若存在，求出λ的值；若不存在，說明理由.

解：（1）設(shè)A(x1,),B(x2,)(x1≠x2),由x2=4y得y=，

∴y′=，∴kPA=,kPB=,

∵，

∴PA⊥PB，

∴kPA·kPB=-1得x1x2=-4,

直線PA的方程是y-= (x-x1)即y=x-.①

直線PB的方程是y-=(x-x2)即y=x-.②

由①②解得x=x1+，(x1,x2∈R).

因此，所求點(diǎn)P的軌跡方程是y=-1.

（2）由（1）得=(x1,-1), =(x2,-1),=(,-2),

∵x1x2=-4,

∴-2--,=++2.

∴+=0，即，存在λ=1使得+λ=0成立.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

過拋物線x2=4y上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于P點(diǎn)，
PA
•
PB
=0．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知點(diǎn)F（0，1），是否存在實(shí)數(shù)λ使得
FA
•
FB
+λ(
FP
)2=0？若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•道里區(qū)二模）過拋物線x2=4y上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于點(diǎn)P（x0，y0），
PA
•
PB
=0．
（Ⅰ）求y0；
（Ⅱ）求證：直線AB恒過定點(diǎn)；
（Ⅲ）設(shè)（Ⅱ）中直線AB恒過定點(diǎn)為F，若
FA
•
FB
+λ(
FP
)2=0恒成立，求λ的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•道里區(qū)二模）過拋物線x2=4y上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于點(diǎn)P（x0，y0），
PA
•
PB
=0．
（1）求y0；
（2）求證：直線AB恒過定點(diǎn)；
（3）設(shè)（2）中直線AB恒過定點(diǎn)F，是否存在實(shí)數(shù)λ，使
FA
•
FB
+λ(
FP
)2=0恒成立？若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

過拋物線x2=4y上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于P點(diǎn)，
PA
•
PB
=0．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知點(diǎn)F（0，1），是否存在實(shí)數(shù)λ使得
FA
•
FB
+λ(
FP
)2=0？若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011年福建省南平市高三適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：解答題

過拋物線x2=4y上不同兩點(diǎn)A、B分別作拋物線的切線相交于P點(diǎn)，．
（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）已知點(diǎn)F（0，1），是否存在實(shí)數(shù)λ使得？若存在，求出λ的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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