Question

解不等式
（1）x²-x+a＞0；
（2）ax²-（2a+1）x+2＜0；
（3）ax²-2x+a＜0．

Answer 1

考點(diǎn)：一元二次不等式的解法

專題：不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）當(dāng)△=1-4a，對△于a分類討論即可得出；
（2）對a與△分類討論，利用一元二次不等式的解法即可得出；
（3）對a與△分類討論，利用一元二次不等式的解法即可得出．

解答： 解：（1）x²-x+a＞0，當(dāng)△=1-4a＜0，即a＞

1

4

時(shí)，不等式的解集為R；
當(dāng)△=0，即a=

1

4

時(shí)，不等式的解集為{x|x≠

1

4

}；
當(dāng)△=1-4a＞0，即a＜

1

4

時(shí)，不等式的解集為{x|x＞

1+ 1-4a

2

或x＜

1- 1-4a

2

}．
（2）ax²-（2a+1）x+2＜0，當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為-x+2＜0，解得x＞2，其解集為{x|x＞2}；
當(dāng)a≠0時(shí)，△=（2a+1）²-8a=（2a-1）²≥0，（ax-1）（x-2）＜0．
當(dāng)a=

1

2

時(shí)，△=0，不等式化為（x-2）²＜0，其解集為∅．
當(dāng)a＞

1

2

時(shí)，不等式的解集為{x|

1

a

＜x＜2}．
當(dāng)0＜a＜

1

2

時(shí)，不等式的解集為{x|2＜x＜

1

a

}．
當(dāng)a＜0時(shí)，不等式化為(x-

1

a

)(x-2)＞0，不等式的解集為：{x|x＞2或x＜

1

a

}．
（3）ax²-2x+a＜0．
當(dāng)a=0時(shí)，不等式化為-2x＜0，不等式的解集為{x|x＞0}．
當(dāng)a≠0時(shí)，由△=4-4a²=0，解得a=±1．
當(dāng)a＞1時(shí)，△＜0，不等式的解集為∅．
當(dāng)a=1時(shí)，△=0，不等式化為（x-1）²＜0，不等式的解集為∅．
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，△＞0，不等式的解集為{x|

1- 1-a2

a

＜x＜

1+ 1-a2

a

}．
當(dāng)-1＜a＜0時(shí)，△＜0，不等式的解集為R．
當(dāng)a=-1時(shí)，△=0，不等式化為（x+1）²＞0，其解集為{x|x≠-1}．
當(dāng)a＜-1時(shí)，△＜0，不等式的解集為R．

點(diǎn)評：本題考查了一元二次不等式的解法，恰當(dāng)?shù)姆诸愑懻撌墙忸}的關(guān)鍵，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．