已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點,短軸長為4,且有一個焦點與拋物線的焦點重合.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)已知經(jīng)過定點M(2,0)且斜率不為0的直線交橢圓C于A、B兩點,試問在x軸上是否另存在一個定點P使得始終平分?若存在,求出點坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

(Ⅰ) ;(Ⅱ) .

解析試題分析:(Ⅰ)設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:,先由已知條件“短軸長為”,求得,再由已知條件“有一個焦點與拋物線的焦點重合”,求得,則,從而得到橢圓方程;(Ⅱ)設(shè)直線方程為:,與橢圓方程聯(lián)立方程組求得(※),假設(shè)存在定點使得始終平分,則有,將對應(yīng)點的坐標(biāo)代入,結(jié)合直線方程以及(※)化簡求得,從而無論如何取值,只要就可保證式子成立,進(jìn)而得出點坐標(biāo).
試題解析:(Ⅰ)∵橢圓的短軸長為
,解得,
又拋物線的焦點為
,則,
∴所求橢圓方程為:
(Ⅱ)設(shè),代入橢圓方程整理得:
,假設(shè)存在定點使得始終平分,

①,
要使得①對于恒成立,則,
故存在定點使得始終平分,它的坐標(biāo)為
考點:1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;2.拋物線的性質(zhì);3.根與系數(shù)的關(guān)系

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線,設(shè)點,,為拋物線上的動點(異于頂點),連結(jié)并延長交拋物線于點,連結(jié)、并分別延長交拋物線于點、,連結(jié),設(shè)、的斜率存在且分別為、.

(1)若,,求;
(2)是否存在與無關(guān)的常數(shù),是的恒成立,若存在,請將、表示出來;若不存在請說明理由.

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已知拋物線與直線相交于A、B 兩點.
(1)求證:;
(2)當(dāng)的面積等于時,求的值.

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已知橢圓.

(1)橢圓的短軸端點分別為(如圖),直線分別與橢圓交于兩點,其中點滿足,且.
①證明直線軸交點的位置與無關(guān);
②若∆面積是∆面積的5倍,求的值;
(2)若圓:.是過點的兩條互相垂直的直線,其中交圓兩點,交橢圓于另一點.求面積取最大值時直線的方程.

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已知雙曲線方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)為中點的雙曲線的弦所在的直線方程;
(2)過點(1,1)能否作直線l,使l與雙曲線交于Q1,Q2兩點,且Q1,Q2兩點的中點為(1,1)?如果存在,求出它的方程;如果不存在,說明理由.

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如圖,已知橢圓的長軸為AB,過點B的直線
軸垂直,橢圓的離心率,F為橢圓的左焦點,且

(1)求此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)P是此橢圓上異于A,B的任意一點, 軸,H為垂足,延長HP到點Q,使得HP=PQ,連接AQ并延長交直線于點,的中點,判定直線與以為直徑的圓O位置關(guān)系。

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已知拋物線的頂點在坐標(biāo)原點,焦點為,點是點關(guān)于軸的對稱點,過點的直線交拋物線于兩點。
(Ⅰ)試問在軸上是否存在不同于點的一點,使得軸所在的直線所成的銳角相等,若存在,求出定點的坐標(biāo),若不存在說明理由。
(Ⅱ)若的面積為,求向量的夾角;

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)如圖,橢圓,、、、為橢圓的頂點

(Ⅰ)若橢圓上的點到焦點距離的最大值為,最小值為,求橢圓方程;
(Ⅱ)已知:直線相交于,兩點(不是橢圓的左右頂點),并滿足 試研究:直線是否過定點? 若過定點,請求出定點坐標(biāo),若不過定點,請說明理由

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知圓,若橢圓的右頂點為圓的圓心,離心率為.
(1)求橢圓的方程;
(2)若存在直線,使得直線與橢圓分別交于兩點,與圓分別交于兩點,點在線段上,且,求圓的半徑的取值范圍.

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