Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）=aex+ +b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）內(nèi)的最小值；
（Ⅱ）設(shè)曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為y= ，求a，b的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設(shè)t=ex（t≥1），則
∴
①當(dāng)a≥1時(shí)，y′≥0，∴ 在t≥1上是增函數(shù)，
∴當(dāng)t=1（x=0）時(shí)，f（x）的最小值為
②當(dāng)0＜a＜1時(shí)， ，當(dāng)且僅當(dāng)at=1（x=﹣lna）時(shí)，f（x）的最小值為b+2；
（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，可得）
∵曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為y= ，
∴ ，即 ，解得
【解析】（Ⅰ）設(shè)t=ex（t≥1），則 ，求出導(dǎo)函數(shù) ，再進(jìn)行分類(lèi)討論：①當(dāng)a≥1時(shí)，y′＞0， 在t≥1上是增函數(shù)；②當(dāng)0＜a＜1時(shí)，利用基本不等式 ，當(dāng)且僅當(dāng)at=1（x=﹣lna）時(shí)，f（x）取得最小值；（Ⅱ）求導(dǎo)函數(shù)，利用曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線(xiàn)方程為y= ，建立方程組，即可求得a，b的值．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)(求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個(gè)最大值，最小的是最小值)．