Question

【題目】已知函數(shù)（，）

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（2）若在區(qū)間上至少存在一點，使成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1)見解析;(2).

【解析】試題分析：（1）求出的表達式，定義域以及導(dǎo)數(shù)，然后判斷導(dǎo)函數(shù)的符號，求出單調(diào)區(qū)間．

（2）若在區(qū)間上至少存在一點，使成立，其充要條件是在區(qū)間上的最小值小于0即可．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)上的最小值，先求出導(dǎo)函數(shù)f，然后討論研究函數(shù)在上的單調(diào)性，將的各極值與其端點的函數(shù)值比較，其中最小的一個就是最小值．

試題解析：（1）當(dāng)時，，令，解得，又函數(shù)的定義域為，由 ，得，由，得，

所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，

時，有極小值，無極大值

（2）若在上存在一點，使得成立，即在區(qū)間上單調(diào)遞減

故在區(qū)間上的最小值為，

由，得，

當(dāng)即時，

①若，則對成立，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減

則在區(qū)間上的最小值為，

顯然，在區(qū)間的最小值小于不成立.

②若，即時，則有在單減，單增，

所以在區(qū)間上的最小值為，由 ，

得，解得，即，綜上，.