Question

8．設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，已知S₂=6，a_n+1=4S_n+1，n∈N^*．
（I）求通項(xiàng)a_n；
（Ⅱ）設(shè)b_n=a_n-n-4，求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用已知條件和變形等式a_n=4S_n-1+1推知數(shù)列{a_n}是等邊數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式進(jìn)行解答；
（Ⅱ）利用（I）中的通項(xiàng)公式推知{|b_n|}的通項(xiàng)公式．然后由分組求和法來(lái)求數(shù)列{|b_n|}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（I）∵a_n+1=4S_n+1，①
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=4S_n-1+1，②
由①-②，得
a_n+1-a_n=4（S_n-S_n-1）=4a_n（n≥2），
∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n+1=5a_n（n≥2），
∴$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=5．
∵S₂=6，a_n+1=4S_n+1，n∈N^*．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+{a}_{2}=6}\\{{a}_{2}=4{a}_{1}+1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=1}\\{{a}_{2}=5}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=5，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)a₁=1，公比為5的等邊數(shù)列，
∴a_n=5^n-1；
（Ⅱ）由題意知|b_n|=|5^n-1-n-4|，n∈N^*．
易知，當(dāng)n≤2時(shí)，5^n-1＜n+4；當(dāng)n≥3時(shí)，5^n-1＞n+4．
∴當(dāng)n≤2時(shí)，|b_n|=n+4-5^n-1；
當(dāng)n≥3時(shí)，|b_n|=5^n-1-（n+4），
∴T₁=b₁=4，T₂=b₁+b₂=5．
當(dāng)n≥3時(shí)，T_n=T₂+b₂+b₃+…+b_n
=5+[5²-（3+4）+[5²-（4+4）]+…+[5^n-1-（n+4）]
=5+（5²+5³+…+5^n-1）-[（3+4）+（4+4）+…+（n+4）]
=5+$\frac{{5}^{2}（1-{5}^{n-2}）}{1-5}$-$\frac{（n-2）（7+n+4）}{2}$
=$\frac{{5}^{n}-2{n}^{2}-18n+39}{4}$．
又∵T₁=4不滿足上式，T₂=5滿足上式，
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{4，（n=1）}\\{\frac{{5}^{n}-2{n}^{2}-18n+39}{4}，n≥2，n∈{N}^{+}}\end{array}\right.$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等比數(shù)列的定義的靈活運(yùn)用．