Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-x+

1

x

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）證明：當x＞0時，ln（1+

1

x

）＜

1

x

+

1

x+1

．
（3）證明：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

＞n²-n³（n∈N^*）．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,數(shù)列的求和

專題：導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出原函數(shù)的導函數(shù)，對a分類分析導函數(shù)的符號，由導函數(shù)的符號判斷原函數(shù)的單調(diào)性；
（2）結(jié)合（1）中函數(shù)的單調(diào)性，得到f（x）=lnx-x+

1

x

在（0，+∞）上為減函數(shù)，然后由f（1+

1

x

）
＜f（1）證得函數(shù)不等式；
（3）利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式，再由歸納假設(shè)證明n=k+1時穿插運用分析法．

解答： （1）解：∵f（x）=alnx-x+

1

x

，
∴f′(x)=

a

x

-1-

1

x2

=

-(x2-ax+1)

x2

，
若a≤2，f′（x）≤0，函數(shù)f（x）在其定義域內(nèi)為減函數(shù)；
若a＞2，當x∈(0，

a- a2-4

2

)，x∈(

a+ a2-4

2

，+∞)時，f′（x）＜0，
當x∈(

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

)時，f′（x）＞0．
∴當a≤2時，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為（0，+∞）；
當a＞2時，函數(shù)f（x）的減區(qū)間為(0，

a- a2-4

2

)，(

a+ a2-4

2

，+∞)，
增區(qū)間為(

a- a2-4

2

，

a+ a2-4

2

)；
（2）證明：由（1）知，當a=1時，f（x）=lnx-x+

1

x

在（0，+∞）上為減函數(shù)，
∴f（1+

1

x

）＜f（1），即ln(1+

1

x

)-(1+

1

x

)+

1

1+ 1 x

＜ln1-1+1=0，
即ln(1+

1

x

)＜1+

1

x

-

x

x+1

＜1+

1

x

+

1

x+1

；
（3）證明：當n=1時，不等式左邊=

2

2

，右邊=0，左邊大于右邊，不等式成立；
假設(shè)當n=k時結(jié)論成立，即

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

k(k+1)

＞k²-k³，
那么，當n=k+1時，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

k(k+1)

+

1

(k+1)(k+2)

＞k2-k3+

1

(k+1)(k+2)

．
要證k2+k3+

1

(k+1)(k+2)

＞(k+1)2-(k+1)3，只需證

1

(k+1)(k+2)

＞-3k2-k，
此式顯然成立，
∴當n=k+1時不等式成立，
綜上，對于任意n∈N^*不等式成立．

點評：本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導數(shù)證明函數(shù)不等式，訓練了利用數(shù)學歸納法證明數(shù)列不等式，是壓軸題．