Question

已知在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是D₁D、BD的中點(diǎn)，G在棱CD上，且CG=

1

4

CD．
（I）求證：EF⊥B₁C；
（Ⅱ）求EF與C₁G所成角的余弦值；
（Ⅲ）求二面角F-EG-C₁的大�。ㄓ梅慈�角函數(shù)表示）．

Answer 1

分析：（I）利用三垂線定理或線面垂直的性質(zhì)證明EF⊥B₁C；
（Ⅱ）根據(jù)異面直線所成角的定義，求EF與C₁G所成角的余弦值；
（Ⅲ）利用二面角的定義先確定二面角的平面角，然后求二面角的大�。�

解答：解：（I）連結(jié)D₁B、BC₁
因?yàn)镋、F分別是D₁D、BD的中點(diǎn)
所以EF∥D₁B，且EF=

1

2

D₁B，
又D₁C₁中⊥面B₁BCC₁，
所以D₁B在平面B₁BCC₁的射影為BC₁
因?yàn)锽C₁⊥B₁C，
所以由三垂線定理知BC₁⊥D₁C，
所以EF⊥B₁C．
（II）延長CD到點(diǎn)P，使DP=CG，連結(jié)D₁P、PB
所以D₁C₁∥PG且D₁C₁=PG，
所以四邊形D₁PGC₁為平行四邊形，
所以D₁P∥C₁G，且D₁P=C₁G，
又由（I）知EF∥D₁B，
所以∠PD₁B為EF與C₁G所成角所成的角．
設(shè)正方體的棱長為4，則：D1P2=42+12=17，D1B2=42+42+42=48，PB²=4²+5²=41．
所以cos∠PD1B=

D1P2+D1B2-PB2

2D1P?D1B

=

51

17

．
（III）取DC中點(diǎn)M，連FM，則FM⊥面C₁EG
過M作MN⊥EG于N，連結(jié)FN
由三垂線定理，F(xiàn)N⊥EG
∴∠MNF的鄰補(bǔ)角為二面角F-EG-C₁的平面角
設(shè)正方體棱長為4，則FM=2
△EDG∽△MNG，
所以MN=

MG?ED

EG

=

1×2

13

=

2 13

13

，
在直角三角形FMN中，tan∠MNF=

FM

MN

=

2

2 13 13

=

13

．，
所以∠MNF=arctan

13

，
所以二面角F-EG-C₁的大小為π-arctan

13

．

點(diǎn)評：本題主要考查空間線面垂直的性質(zhì)以及空間異面直線和二面角大小的求法，要求根據(jù)空間角的定義和求法分別求出對應(yīng)的空間角．