Question

已知函數(shù)f（x）-x+（t＞0）和點(diǎn)P（1，0），過(guò)點(diǎn)P作曲線y=f（x）的兩條切線PM、PN，切點(diǎn)分別為M，N．
（Ⅰ）設(shè)|MN|=g（t），試求函數(shù)g（t）的表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在t，使得M，N與A（0，1）三點(diǎn)共線．若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）設(shè)M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，
∵f′（x）=1-，
∴切線PM的方程為：y-（x₁+）=（1-）（x-x₁），
又∵切線PM過(guò)點(diǎn)P（1，0），∴有0-（x₁+）=（1-）（1-x₁），
即x₁²+2tx₁-t=0，（1）
同理，由切線PN也過(guò)點(diǎn)P（1，0），得x₂²+2tx₂-t=0．（2）
由（1）、（2），可得x₁，x₂是方程x²+2tx-t=0的兩根，
∴（*）
|MN|==，
把（*）式代入，得|MN|=，
因此，函數(shù)g（t）的表達(dá)式為g（t）=（t＞0）．
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)M、N與A共線時(shí)，k_MA=k_NA，
∴=，即=，
化簡(jiǎn)，得（x₂-x₁）[t（x₂+x₁）-x₁x₂]=0
∵x₁≠x₂，∴t（x₂+x₁）=x₂x₁．（3）
把（*）式代入（3），解得t=．
∴存在t，使得點(diǎn)M、N與A三點(diǎn)共線，且t=．
分析：（I）設(shè)出M、N兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x₁、x₂，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得到切線的斜率，寫出切線的方程，根據(jù)切線過(guò)一個(gè)點(diǎn)，得到一個(gè)方程，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系寫出兩點(diǎn)之間的長(zhǎng)度，得到函數(shù)的表示式．
（II）根據(jù)三點(diǎn)共線寫出其中兩點(diǎn)連線的斜率相等，整理出最簡(jiǎn)單形式，把上一問(wèn)做出的結(jié)果代入，求出t的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的綜合題目，主要應(yīng)用導(dǎo)函數(shù)求最值來(lái)解題，本題解題的關(guān)鍵是正確應(yīng)用導(dǎo)數(shù)，本題是一個(gè)綜合題目，綜合性比較強(qiáng)．