Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx．
（1）求函數(shù)f（x）的極值點；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=f（x）-a（x-1），其中a∈R，求函數(shù)g（x）在[1，e]上的最小值．（e=2.71828…）

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由已知得f′（x）=lnx+1，x＞0，由f′（x）=0，得x=

1

e

，由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f（x）的極值點．
（2）由已知得g′（x）=lnx+1-a，由g′（x）=0時，x=e^a-1．由此利用分類討論思想和導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)g（x）在[1，e]上的最小值．

解答： 解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴f′（x）=lnx+1，x＞0，
由f′（x）=0，得x=

1

e

，
x∈（0，

1

e

）時，f′（x）＜0；x∈（

1

e

，+∞）時，f′（x）＞0，
∴f（x）_極小值=f（

1

e

）=

1

e

ln

1

e

=-

1

e

．
（2）∵f（x）=xlnx，
∴g（x）=f（x）-a（x-1）=xlnx-a（x-1），
∴g′（x）=lnx+1-a，
∴g′（x）=0時，x=e^a-1．
∴①當e^a-1＜1時，即a＜1時，
g（x）在[1，e]上單調(diào)遞增，故在x=1處取得最小值為0；
②當1≤e a-1≤e時，即0≤a≤1時，
g（x）在[1，e]內(nèi)，當x=e^a-1取最小值為：
e^a-1（a-1）-ae^a-1+a=a-e^a-1；
③當c^a-1＞e時，即a＞1時，
g（x）在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞減，
故在x=e處取得最小值為e-a（e-1）=（1-a）e+1．

點評：本題考查函數(shù)極值點的求法，考查函數(shù)的最小值的求法，解題時要認真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用．