分析:(1)通過方程的解,利用n=1,2,求出a1,a2,類比寫出an的表達(dá)式.(不要求嚴(yán)格的證明)
(2)利用拆項(xiàng)法直接通過公式法與等差數(shù)列求和,求Sn=a1+a2+…+an的值.
(3)設(shè)bn=(kn-5)π,推出an≥bn的表達(dá)式,利用分離變量,通過基本不等式判斷函數(shù)的單調(diào)性,求出函數(shù)的最小值,即可求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
解答:解:(1)解方程得
tanx=或
(1分)
∴當(dāng)n=1時(shí),
x=或
,此時(shí)
a1=(2分)
當(dāng)n=2時(shí),
x=,,+π,+π,
∴
a2=+(+2π)(3分)
依此類推:
an=+(+2π)+…+[+2(n-1)π]∴
an=(n2-)π(5分)
(2)
Sn=(12+22+…+n2)π-(1+2+…+n)=
π-π=
π(9分)
(3)由a
n≥b
n得
(n2-)π≥(kn-5)π∴
kn≤n2-+5∵n∈N
*∴
k≤n+-(11分)
設(shè)
f(n)=n+-易證f(n)在
(0,)上單調(diào)遞減,在(
,+∞)上單調(diào)遞增. (13分)
∵n∈N
*f(2)=4,f(3)=∴n=2,f(n)
min=4
∴k≤4(15分)
點(diǎn)評:本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想,數(shù)列求和的基本方法,恒成立問題的應(yīng)用,函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想,分析問題解決問題的能力.