Question

6．已知F₁，F(xiàn)₂為橢圓${C_1}：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$的左、右焦點，F(xiàn)₁在以$Q（-\sqrt{2}，1）$為圓心，1為半徑的圓C₂上，且|QF₁|+|QF₂|=2a．
（1）求橢圓C₁的方程；
（2）過點P（0，1）的直線l₁交橢圓C₁于A，B兩點，過P與l₁垂直的直線l₂交圓C₂于C，D兩點，M為線段CD中點，求△MAB面積的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）圓C₂的方程為（x+$\sqrt{2}$）²+（y-1）²=1，由此圓與x軸相切，求出a，b的值，由此能求出橢圓C₁的方程．
（2）設(shè)l₁：x=t（y-1），則l₂：tx+y-1=0，與橢圓聯(lián)立，得（t²+2）y²-2t²y+t²-4=0，由此利用弦長公式、點到直線距離公式，結(jié)合已知條件能求出△MAB面積的取值范圍

解答 解：（1）圓C₂的方程為（x+$\sqrt{2}$）²+（y-1）²=1，由此圓與x軸相切，切點為（$\sqrt{2}$，0），∴c=$\sqrt{2}$，
且F₁（-$\sqrt{2}$，0），F(xiàn)₂（$\sqrt{2}$，0），又|QF₁|+|QF₂|=3+1=2a．
∴a=2，b²=a²-c²=2，∴∴橢圓C₁的方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．
（2）當(dāng)l₁平行x軸的時候，l₂與圓C₂無公共點，從而△MAB不存在；
設(shè)l₁：x=t（y-1），則l₂：tx+y-1=0．
把x=t（y-1）代入橢圓C₁：$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$．得（t²+2）y²-2t²y+t²-4=0，
y₁+y₂=$\frac{2{t}^{2}}{2+{t}^{2}}$，y₁y₂=$\frac{{t}^{2}-4}{2+{t}^{2}}$，
則|AB|=$\sqrt{1+{t}^{2}}$|y₁-y₂|=$\frac{2\sqrt{（1+{t}^{2}）（2{t}^{2}+8）}}{{t}^{2}+2}$，
又圓心Q到l₂的距離d₁²=$\frac{2{t}^{2}}{1+{t}^{2}}＜1$⇒t²＜1．
又MP⊥AB，QM⊥CD
∴M到AB的距離即Q到AB的距離，設(shè)為d₂，d₂=$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$．
∴△MAB面積S=$\frac{1}{2}$|AB|•d₂=$\frac{2\sqrt{{t}^{2}+4}}{{t}^{2}+2}$．
令u=$\sqrt{{t}^{2}+4}∈[2，\sqrt{5}）$，∴s=f（u）=$\frac{2u}{{u}^{2}-2}$=$\frac{2}{u-\frac{2}{u}}$∈（$\frac{2\sqrt{5}}{3}，2$]．
∴△MAB面積的取值范圍為（$\frac{2\sqrt{5}}{3}，2$]．

點評 本題考查了橢圓方程的求法，考查三角形面積的取值范圍的求法，注意弦長公式、點到直線距離公式的合理運用．屬于中檔題．