Question

下列命題：
（1）函數(shù)y=

1

x

+x(x＜0)的值域是（-∞，-2]；
（2）函數(shù)y=x2+2+

1

x2+2

最小值是2；
（3）若a，b同號(hào)且a≠b，則

a

b

+

b

a

＞2．
其中正確的命題是（　　）

• A、（1）（2）（3）
• B、（1）（2）
• C、（2）（3）
• D、（1）（3）

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用,函數(shù)的值域,基本不等式

專題：不等式的解法及應(yīng)用,簡(jiǎn)易邏輯

分析：由函數(shù)y=

1

x

+x(x＜0)）的解析式，利用基本不等式可得函數(shù)的值域．先把函數(shù)化為：x²+（2-y）x+2-y=0，看成關(guān)于x的方程，根據(jù)判別式△≥0即可得出函數(shù)的值域．利用基本不等式判斷（3）的正誤；

解答： 解：對(duì)于（1），當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)y=

1

x

+x=-（-x+

1

-x

）≤-2（當(dāng)且僅當(dāng)x=-1時(shí)取等號(hào)）
故函數(shù)y=

1

x

+x（x＜0）的值域是（-∞，-2]．∴（1）正確；
對(duì)于（2），由y=x2+2+

1

x2+2

，函數(shù)是偶函數(shù)，x≥0時(shí)函數(shù)是增函數(shù)，
當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)取得最小值

5

2

，函數(shù)的值域?yàn)椋篬

5

2

，+∞）．∴（2）不正確；
對(duì)于（3），若a，b同號(hào)，則

a

b

+

b

a

≥2

a b • b a

=2，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào)，由a≠b，∴（3）正確；
故答案為：（1）（3）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查基本不等式的應(yīng)用，命題真假的判斷，基本知識(shí)的應(yīng)用．