Question

定義在（-1，1）上的函數(shù)f（x）滿足：①f（x）=2f（x-1）+1；②當(dāng)-1＜x≤0，f（x）=x²-ax-a，其中常數(shù)a＞0
（1）若a=1，求f（

1

2

），f（1）的值；
（2）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，求f（x）的解析式；
（3）討論函數(shù)f（x）在（-1，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．

Answer 1

考點(diǎn)：根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷,函數(shù)解析式的求解及常用方法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由a=1，根據(jù)f（x）=2f（x-1）+1求得f（

1

2

）=2f（-

1

2

）+1以及f（1）=2f（0）+1的值．
（2）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，有-1＜x-1＜0，可得f（x）=2f（x-1）+1=2[（x-1）²-（x-1）+1]+1化簡(jiǎn)可得結(jié)果．
（3）當(dāng)-1＜x≤0，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)零點(diǎn)的判定定理求得函數(shù)（-1，0]上有唯一零點(diǎn)．同理求得函數(shù)（0，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，綜合可得結(jié)論．

解答： 解：（1）設(shè)0＜x≤1，則-1＜x-1≤0，由f（x）=2f（x-1）+1，
可得f（

1

2

）=2f（-

1

2

）+1=2（

1

4

+

1

2

-1）+1=

1

2

，
f（1）=2f（0）+1=2•（-1）+1=-1．
（2）當(dāng)0＜x＜1時(shí)，有-1＜x-1＜0，
∴f（x）=2f（x-1）+1=2[（x-1）²-a（x-1）-a]+1=2x²-（4+a）x+3．
（3）①當(dāng)-1＜x≤0，由a＞0，可得f（x）=x²-ax-a=(x-

a

2

)2-

a2

4

-a 在（-1，0]上單調(diào)遞減，
f（-1）=1，f（0）=-a，滿足f（-1）f（0）＜0，故函數(shù)（-1，0]上有唯一零點(diǎn)．
②當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）=2x²-（4+a）x+3的圖象的對(duì)稱軸方程為x=1+

a

4

＞1，
f（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，f（1）=1-a，f（0）=3．
若a＞1，則滿足f（-1）f（0）＜0，故函數(shù)（0，1）上有唯一零點(diǎn)，
故函數(shù)f（x）在（-1，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2；
若a≤1，則f（1）≥0，函數(shù)（0，1）上有無(wú)零點(diǎn)，函數(shù)f（x）在（-1，1）上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查求函數(shù)的解析式，函數(shù)零點(diǎn)的判定定理、二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的根的存在性及個(gè)數(shù)判斷，體現(xiàn)了化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．