Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為.

（1）討論的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)的個數(shù)；

（2）若，且在上的最小值為，證明：當(dāng)時，.

Answer 1

【答案】（1）當(dāng)時，存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時，無零點(diǎn).（2）證明見解析

【解析】

（1）由題意得的定義域?yàn)?/span>，，然后分和兩種情況討論即可

（2）先由條件求出，然后要證，即證，令，然后利用導(dǎo)數(shù)得出即可

（1）由題意，得的定義域?yàn)?/span>，.

顯然當(dāng)時，恒成立，無零點(diǎn).

當(dāng)時，取，

則，即單調(diào)遞增，

又，，

所以導(dǎo)函數(shù)存在唯一零點(diǎn).

故當(dāng)時，存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時，無零點(diǎn).

（2）由（1）知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以，所以.

因?yàn)?/span>，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，

所以，所以.

又，所以，所以.

根據(jù)題意，要證，即證，只需證.

令，則.

令，則，

所以在上單調(diào)遞增.

又，，

所以有唯一的零點(diǎn).

當(dāng)時，，即，單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，即，單調(diào)遞增，

所以.

又因?yàn)?/span>，所以，所以，

故.