Question

【題目】如圖，三棱錐D-ABC中，，E，F分別為DB，AB的中點(diǎn)，且.

（1）求證：平面平面ABC；

（2）求點(diǎn)D到平面CEF的距離.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取BC的中點(diǎn)G，連接AG，DG，可證平面DAG，可得，再由，，可證，可得平面ABC，即可證明結(jié)論；

（2）由條件可得點(diǎn)D到平面CEF的距離等于點(diǎn)B到平面CEF的距離，求出三棱錐的體積和的面積，用等體積法，即可求解.

（1）如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接AG，DG，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

又因?yàn)?/span>，

所以平面DAG，所以.

因?yàn)?/span>E，F分別為DB，AB的中點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>，即，則.

又因?yàn)?/span>，所以平面ABC，

又因?yàn)?/span>平面DAB，所以平面平面ABC.

（2）因?yàn)辄c(diǎn)E為DB的中點(diǎn)，

所以點(diǎn)D到平面CEF的距離等于點(diǎn)B到平面CEF的距離.

設(shè)點(diǎn)D到平面CEF的距離為h，

因?yàn)?/span>，又因?yàn)?/span>平面ABC，

所以，

在中，.

所以，

在中，，

所以，

又因?yàn)?/span>，

所以，

而，

則.

所以點(diǎn)D到平面CEF的距離為.