Question

（2012•黃岡模擬）已知函數(shù)f（x）=kx³+3（k-1）x²-k²+1（k＞0）的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，4），則k的值是

1

3

．

Answer 1

分析：將三次多項式函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=3kx²+6（k-1）x，結(jié)合題意得f'（x）＜0的解集是（0，4），根據(jù)一元二次不等式解法的結(jié)論，比較系數(shù)即可得到實數(shù)k的值．

解答：解：對函數(shù)求導(dǎo)數(shù)，得f'（x）=3kx²+6（k-1）x
∵函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（0，4），
∴f'（x）＜0的解集是（0，4），
∵k＞0，
∴3kx²+6（k-1）x＜0等價于3kx（x-4）＜0，
得6（k-1）=-12k，解之得k=

1

3

故答案為：

1

3

點評：本題給出三次多項式函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，求參數(shù)k的值，著重考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和一元二次不等式解法等知識，屬于基礎(chǔ)題．