Question

橢圓與雙曲線有許多優(yōu)美的對偶性質(zhì)，對于橢圓有如下命題：已知A、F、B分別是優(yōu)美橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）（離心率為黃金分割比

5 -1

2

的橢圓）的左頂點、右焦點和上頂點，則AB⊥BF．那么對于雙曲線則有如下命題：已知A、F、B分別是優(yōu)美雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞b＞0）（離心率為黃金分割比的倒數(shù)

5 +1

2

的雙曲線）的左頂點、右焦點和其虛軸的上端點，則有（　�。�

A．AB⊥BF

B．AF⊥BF

C．AB⊥AF

D．AB∥BF

Answer 1

分析：根據(jù)圖象可知AB²=a²+b²=c²，BF²=b²+c²=2c²-a²，進而根據(jù)

c

a

=

5 +1

2

求得AF²=

6+2 5

4

c²，進而表示出AB²+BF²，最后可得AF²=AB²+BF²，根據(jù)勾股定理判斷出AB⊥BF．

解答：解：如圖，AB²=a²+b²=c²，BF²=b²+c²=2c²-a²，
∵

c

a

=

5 +1

2

，
∴

c2

a2

=

6+2 5

4

，
∴AF²=（

5 -1

2

c+c）²=

( 5 +1)2

4

c²=

6+2 5

4

c²，
而AB²+BF²=c²+2c²-a²=3c²-（

5 -1

2

c）²=3c²-

6-2 5

4

c²=

6+2 5

4

c²，
∴AF²=AB²+BF²，故AB⊥BF．
故選A

點評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．要利用好雙曲線標準方程中的a，b和c的關(guān)系．