18.f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù),且滿足xf′(x)-f(x)≤0.對任意正數(shù)a,b,若a<b,則必有( 。
A.bf(a)≤af(b)B.af(b)≤bf(a)C.bf(a)≤f(a)D.af(a)≤f(b)

分析 由已知條件令F(x)=$\frac{f(x)}{x}$,判斷出F′(x)≤0,據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系判斷出F(x)的單調(diào)性,利用單調(diào)性判斷出F(a)與F(b)的關(guān)系,利用不等式的性質(zhì)得到結(jié)論.

解答 解:∵f(x)是定義在(0,+∞)上的非負(fù)可導(dǎo)函數(shù)且滿足xf′(x)≤f(x),
令F(x)=$\frac{f(x)}{x}$,則F′(x)=$\frac{xf′(x)-f(x)}{{x}^{2}}$,
∵xf′(x)-f(x)≤0,
∴F′(x)≤0,
∴F(x)=$\frac{f(x)}{x}$在(0,+∞)上單調(diào)遞減或常函數(shù)
∵對任意的正數(shù)a、b,a<b
∴$\frac{f(a)}{a}$≥$\frac{f(b)}$,
∵任意的正數(shù)a、b,a<b,
∴af(b)≤bf(a)
故選:B.

點評 函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)符號確定函數(shù)的單調(diào)性:當(dāng)導(dǎo)函數(shù)大于0時,函數(shù)單調(diào)遞增;導(dǎo)函數(shù)小于0時,函數(shù)單調(diào)遞減.

練習(xí)冊系列答案
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13.如圖,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的正方形,PA⊥平面ABCD,PA=a,E為CP中點,
(1)求PB與平面BDE所成的角;
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10.已知函數(shù)f(x)=x3+$\frac{5}{2}$x2+ax+b(a,b為常數(shù)),其圖象是曲線C.
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(Ⅰ)若f(x)在(0,4]上是減函數(shù),求實數(shù)a的取值范圍;
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