8．橢圓上$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$上一點p到兩焦點距離之積為m，則m取最大值時，p點的坐標是（　�。�
A．$（{\frac{{5\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$或 $（{-\frac{{5\sqrt{3}}}{2}，\frac{3}{2}}）$B．$（{\frac{5}{2}，\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}）$或$（{\frac{5}{2}，-\frac{{3\sqrt{3}}}{2}}）$
C．（5，0）或（-5，0）D．（0，3）或（0，-3）

分析 根據(jù)橢圓的方程，得|PF1|+|PF2|=2a=10，結(jié)合基本不等式可知：當且僅當|PF1|=|PF2|=5時，點P到兩焦點的距離之積為m有最大值25，并且此時點P位于橢圓短軸的頂點處，可得點P坐標為（0，3）或（0，-3）．

解答 解：∵橢圓方程$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，∴橢圓的a=5，b=3
設橢圓的左右焦點分別為F1、F2，得|PF1|+|PF2|=2a=10
∵|PF1|+|PF2|≥2$\sqrt{|P{F}_{1}||P{F}_{2}|}$
∴點P到兩焦點的距離之積m滿足：m=|PF1|×|PF2|≤（$\frac{|P{F}_{1}|+|P{F}_{2}|}{2}$）2=25
當且僅當|PF1|=|PF2|=5時，m有最大值25
此時，點P位于橢圓短軸的頂點處，得P（0，3）或（0，-3）
故選：D

點評 本題給出橢圓的方程，求其上一點到兩個焦點距離之積的最大值，著重考查了橢圓的簡單幾何性質(zhì)和基本不等式求最值等知識，屬于中檔題．

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（3）當k=1，t=1時，設Tn=a1+$\frac{{a}_{2}}{p}$+$\frac{{a}_{3}}{{p}^{2}}$+…+$\frac{{a}_{n-1}}{{p}^{n-2}}$+$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n-1}}$，參照教材上推導等比數(shù)列前n項和公式的推導方法，求證：{$\frac{1+p}{p}$•Tn-$\frac{{a}_{n}}{{p}^{n}}$-6n}是一個常數(shù)．

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