Question

在邊長(zhǎng)為5的菱形ABCD中，AC＝8．現(xiàn)沿對(duì)角線BD把△ABD折起，折起后使∠ADC的余弦值為．

　 （Ⅰ）求證：平面ABD⊥平面CBD；

　 （Ⅱ）若M是AB的中點(diǎn)，求折起后AC與平面MCD所成角的一個(gè)三角函數(shù)值．

Answer 1

（Ⅰ）證明：菱形中，記交點(diǎn)為, ，     

翻折后變成三棱椎，在△中，

=

在△中，，

∴∠=90°，即⊥，又⊥，∩=，

∴⊥平面, ………………………4分

又平面,∴平面⊥平面．    

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知,,兩兩互相垂直，分別以,, 所在直線為坐標(biāo)軸建系，則 (0,0,4)， (0,-3,0)， (4,0,0) ，(0,3,0)  ，(0,-,2)，

,，………………………………8分

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則由

 ， 得 ，…10分  令y=4，有 ……10分

設(shè)與平面所成角為θ,

∴與平面所成角的正弦值為，  …………………………………12分