Question

在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a，b，c，且cosA=

1

3

．
（1）求cos（B+C）+cos2A的值；
（2）若a=

3

，求b•c的最大值．

Answer 1

分析：（1）把所求式子第一項(xiàng)的角B+C變?yōu)棣?A，利用誘導(dǎo)公式化簡，第二項(xiàng)利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，得到關(guān)于cosA的關(guān)系式，把cosA的值代入即可求出值；
（2）利用余弦定理表示出cosA，將已知cosA的值代入，整理后利用基本不等式b²+c²≥2bc進(jìn)行變形，把a(bǔ)的值代入可求出bc的范圍，即可確定出bc的最大值．

解答：解：（1）∵cosA=

1

3

，且A+B+C=π，
∴cos（B+C）+cos2A
=cos（π-A）+cos2A
=-cosA+2cos²A-1
=-

1

3

+2×(

1

3

)2-1
=-

10

9

；
（2）由根據(jù)余弦定理得：cosA=

b2+c2-a2

2bc

，又cosA=

1

3

，
∴

b2+c2-a2

2bc

=

1

3

，
∴

2

3

bc=b2+c2-a2≥2bc-a2，
又∵a=

3

，∴bc≤

9

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

3

2

時(shí)，bc=

9

4

，
則bc的最大值是

9

4

．

點(diǎn)評：此題考查了余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，誘導(dǎo)公式，以及基本不等式的應(yīng)用，熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵．