13.設(shè)直線l為公海的分界線,一巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)了北偏東60°的海面B處有一艘走私船,走私船正向停泊在公海上接應(yīng)的走私海輪C航行,以便上海輪后逃竄.已知巡邏艇的航速是走私船航速的2倍,A與公海相距約為20海里,走私船可能向任一方向逃竄,請回答下列問題:
(1)如果走私船和巡邏艇都是沿直線航行,那么走私船能被截獲的點是哪些?
(2)根據(jù)截獲點的軌跡,探討“可截獲區(qū)域”和“非截獲區(qū)域”.

分析 以A為原點,以正東方向為x軸,以海里為單位建立直角坐標(biāo)系,設(shè)|AB|=2t(t>0);
(1)設(shè)截獲點為P(x,y),利用|PA|=2|PB|得出截獲點的軌跡是圓;
(2)設(shè)點Q(x,y)在截獲點所在的圓內(nèi)部,列出不等式求出可截獲區(qū)域和非截獲區(qū)域.

解答 解:以A為原點,以正東方向為x軸,并以海里為單位建立直角坐標(biāo)系,
如圖所示;
設(shè)|AB|=2t,(t>0),則$B=(\sqrt{3}t,t)$;
(1)設(shè)截獲點為P(x,y),則|PA|=2|PB|,
即$\sqrt{{x^2}+{y^2}}=2\sqrt{(x-\sqrt{3t{)^2}}+{{(y-t)}^2}}$,
化簡得${(x-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}t)^2}+{(y-\frac{4}{3}t)^2}={(\frac{4}{3}t)^2}$;
所以,截獲點的軌跡是以$D(\frac{{4\sqrt{3}}}{3}t,\frac{4}{3}t)$為圓心,$\frac{4}{3}t$為半徑的圓;
(2)設(shè)點Q(x,y)在圓D內(nèi)部,則
${(x-\frac{{4\sqrt{3}}}{3}t)^2}+{(y-\frac{4}{3}t)^2}<{(\frac{4}{3}t)^2}$,
化簡得$\sqrt{{x^2}+y{\;}^2}>2\sqrt{(x-\sqrt{3t{)^2}}+{{(y-t)}^2}}$,
即|QA|>2|QB|;
所以,可截獲區(qū)域為領(lǐng)海上的圓D外部,
非截獲區(qū)域為領(lǐng)海上的圓D內(nèi)部.

點評 本題考查了圓的方程與方向向量的應(yīng)用問題,也考查了數(shù)學(xué)建模的應(yīng)用問題,是綜合性題目

練習(xí)冊系列答案
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(2)若過點P(2,1)的直線l與橢圓C在第一象限相切于點M,求直線l的方程和點M的坐標(biāo);
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