Question

在(x-

1

x

)9的展開(kāi)式中求：
（I）含x⁵項(xiàng)的系數(shù)；
（II）中間項(xiàng)．

Answer 1

分析：（I）在二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于5，求出r的值，即可求得展開(kāi)式中含x⁵項(xiàng)的系數(shù)．
（II）由于展開(kāi)式共有10項(xiàng)，所以，中間項(xiàng)為第5項(xiàng)和第6項(xiàng)，再利用通項(xiàng)公式求得第5項(xiàng)和第6項(xiàng)．

解答：解：（I）(x-

1

x

)9展開(kāi)式的通項(xiàng)是Tr+1=

C

r 9

x9-r(-

1

x

)r=(-1)r

C

r 9

x9-2r．…（2分）
令x的冪指數(shù)9-2r=5，求得r=2．…（4分）
所以，展開(kāi)式中含x⁵項(xiàng)的系數(shù)為T2+1=(-1)2

C

2 9

=36．…．（6分）
（II）由于展開(kāi)式共有10項(xiàng)，所以，中間項(xiàng)為第5、第6項(xiàng)．…（8分）
∴T₅=(-1)4

C

4 9

x9-2×4=126x，…（10分），
T6=(-1)5

C

5 9

x9-2×5=-

126

x

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．